Номер 27.30, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.30, страница 263.

Условие.

27.30. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 65. Если из первого из этих чисел вычесть 1, второе оставить без изменений, а из третьего вычесть 19, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

Пусть искомые три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Их можно выразить через первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$ как $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$.

По условию, сумма этих чисел равна 65. Составим первое уравнение:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 65$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 65$ (1)

Далее, из первого числа вычитаем 1, второе оставляем без изменений, а из третьего вычитаем 19. Получаем новые числа: $b_1 - 1$, $b_1q$, $b_1q^2 - 19$. Эти новые числа образуют арифметическую прогрессию.

Основное свойство арифметической прогрессии гласит, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Для наших трех чисел это означает:

$b_1q = \frac{(b_1 - 1) + (b_1q^2 - 19)}{2}$

Умножим обе части на 2 и упростим:

$2b_1q = b_1 - 1 + b_1q^2 - 19$

$2b_1q = b_1(1 + q^2) - 20$

Перенесем все члены с $b_1$ в одну сторону:

$b_1(1 + q^2) - 2b_1q = 20$

$b_1(q^2 - 2q + 1) = 20$

Свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности:

$b_1(q - 1)^2 = 20$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 65 \\ b_1(q - 1)^2 = 20 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (это возможно, так как правые части не равны нулю, значит и левые тоже, следовательно $b_1 \neq 0$ и $q \neq 1$):

$\frac{b_1(1 + q + q^2)}{b_1(q - 1)^2} = \frac{65}{20}$

$\frac{1 + q + q^2}{q^2 - 2q + 1} = \frac{13}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$4(1 + q + q^2) = 13(q^2 - 2q + 1)$

$4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$9q^2 - 30q + 9 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни для $q$:

$q_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$q_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующее значение $b_1$ для каждого $q$, используя уравнение (2).

Если $q = 3$:

$b_1(3 - 1)^2 = 20 \implies b_1 \cdot 4 = 20 \implies b_1 = 5$

Тогда искомые числа: $5$, $5 \cdot 3 = 15$, $15 \cdot 3 = 45$.

Если $q = \frac{1}{3}$:

$b_1(\frac{1}{3} - 1)^2 = 20 \implies b_1(-\frac{2}{3})^2 = 20 \implies b_1 \cdot \frac{4}{9} = 20 \implies b_1 = \frac{20 \cdot 9}{4} = 45$

Тогда искомые числа: $45$, $45 \cdot \frac{1}{3} = 15$, $15 \cdot \frac{1}{3} = 5$.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел.

Проверка: числа 5, 15, 45 образуют геометрическую прогрессию, их сумма $5+15+45=65$. Новые числа: $5-1=4$, $15$, $45-19=26$. Числа 4, 15, 26 образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=11$. Все условия выполнены.

Ответ: 5, 15, 45.