Номер 27.35, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.35, страница 264.

Условие.

27.35. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $\begin{cases} ax + y = 2, \\ 9x + ay = 6 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений?

Решение.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1, \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Условие пропорциональности коэффициентов записывается в виде равенства: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

Для данной системы уравнений: $ \begin{cases} ax + y = 2, \\ 9x + ay = 6 \end{cases} $ коэффициенты имеют следующие значения: $A_1 = a$, $B_1 = 1$, $C_1 = 2$ $A_2 = 9$, $B_2 = a$, $C_2 = 6$

Подставим эти значения в условие пропорциональности: $ \frac{a}{9} = \frac{1}{a} = \frac{2}{6} $

Это равенство должно выполняться одновременно. Упростим последнюю дробь: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Получаем систему из двух равенств: $ \frac{a}{9} = \frac{1}{3} $ $ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} $

Решим первое равенство, используя основное свойство пропорции: $ 3 \cdot a = 9 \cdot 1 $ $ 3a = 9 $ $ a = 3 $

Решим второе равенство: $ a \cdot 1 = 1 \cdot 3 $ $ a = 3 $

Оба равенства выполняются при $a = 3$. Это означает, что при данном значении параметра $a$ система будет иметь бесконечно много решений.

Можно также было сначала рассмотреть равенство $ \frac{a}{9} = \frac{1}{a} $, из которого следует $a^2 = 9$, что дает два возможных значения: $a=3$ и $a=-3$. Далее нужно проверить каждое из них:

• При $a = 3$ получаем: $ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} = \frac{2}{6} $. Все части равны $ \frac{1}{3} $. Условие выполняется.
• При $a = -3$ получаем: $ \frac{-3}{9} = \frac{1}{-3} \neq \frac{2}{6} $, так как $ -\frac{1}{3} \neq \frac{1}{3} $. Условие не выполняется. (В этом случае система не имеет решений).

Таким образом, единственное значение параметра, при котором система имеет бесконечно много решений, это $ a = 3 $.

Ответ: $a = 3$.