Номер 28.2, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.2, страница 266.

Условие.

28.2. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии $(x_n)$, если $x_3 = 24$, $x_8 = 768$.

Решение.

Дана геометрическая прогрессия $(x_n)$, в которой известны третий член $x_3 = 24$ и восьмой член $x_8 = 768$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Запишем выражения для данных членов прогрессии:

$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2 = 24$

$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = x_1 \cdot q^7 = 768$

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x_8}{x_3} = \frac{x_1 \cdot q^7}{x_1 \cdot q^2}$

$\frac{768}{24} = q^{7-2}$

$32 = q^5$

Поскольку $2^5 = 32$, то знаменатель прогрессии $q = 2$.

Теперь найдем первый член прогрессии $x_1$, подставив значение $q$ в формулу для $x_3$:

$x_1 \cdot q^2 = 24$

$x_1 \cdot 2^2 = 24$

$x_1 \cdot 4 = 24$

$x_1 = \frac{24}{4} = 6$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q-1}$

Найдем сумму первых семи членов ($n=7$), подставив известные значения $x_1 = 6$ и $q = 2$:

$S_7 = \frac{6(2^7 - 1)}{2-1}$

$S_7 = \frac{6(128 - 1)}{1}$

$S_7 = 6 \cdot 127$

$S_7 = 762$

Ответ: 762