Номер 27.34, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.34, страница 264.

Условие.

27.34. Найдите четыре числа, образующие арифметическую прогрессию и обладающие таким свойством: если из второго числа вычесть 2, а к четвёртому прибавить 14, то будет получена геометрическая прогрессия.

Решение.

Пусть искомые четыре числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3, a_4$. Обозначим первый член прогрессии как $a$, а разность прогрессии как $d$. Тогда члены этой арифметической прогрессии можно записать в виде:

• $a_1 = a$
• $a_2 = a + d$
• $a_3 = a + 2d$
• $a_4 = a + 3d$

Согласно условию задачи, выполним преобразования:

• из второго числа вычтем 2: $a_2 - 2 = a + d - 2$
• к четвертому числу прибавим 14: $a_4 + 14 = a + 3d + 14$

Первый и третий члены остаются без изменений. В результате получаем новую последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, b_4$:

• $b_1 = a$
• $b_2 = a + d - 2$
• $b_3 = a + 2d$
• $b_4 = a + 3d + 14$

Эта новая последовательность является геометрической прогрессией. Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат любого ее члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов. Запишем это свойство для $b_2$ и $b_3$:

1) $b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \implies (a + d - 2)^2 = a(a + 2d)$

2) $b_3^2 = b_2 \cdot b_4 \implies (a + 2d)^2 = (a + d - 2)(a + 3d + 14)$

Раскроем скобки в первом уравнении и упростим его:$a^2 + d^2 + 4 + 2ad - 4a - 4d = a^2 + 2ad$$d^2 - 4d + 4 - 4a = 0$$(d-2)^2 = 4a$Отсюда выразим $a$: $a = \frac{(d-2)^2}{4}$.

Теперь раскроем скобки во втором уравнении и упростим его:$a^2 + 4ad + 4d^2 = a(a+3d+14) + (d-2)(a+3d+14)$$a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + 3ad + 14a + ad + 3d^2 + 14d - 2a - 6d - 28$$a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + 4ad + 12a + 3d^2 + 8d - 28$$4d^2 = 12a + 3d^2 + 8d - 28$$d^2 - 8d - 12a + 28 = 0$

Подставим выражение для $a$ в это уравнение:$d^2 - 8d - 12\left(\frac{(d-2)^2}{4}\right) + 28 = 0$$d^2 - 8d - 3(d-2)^2 + 28 = 0$$d^2 - 8d - 3(d^2 - 4d + 4) + 28 = 0$$d^2 - 8d - 3d^2 + 12d - 12 + 28 = 0$$-2d^2 + 4d + 16 = 0$Разделим уравнение на -2:$d^2 - 2d - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются:$d_1 = 4$ и $d_2 = -2$.

Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $d = 4$. Найдем соответствующее значение $a$:$a = \frac{(4-2)^2}{4} = \frac{2^2}{4} = 1$. Искомая арифметическая прогрессия: $1, 5, 9, 13$. Проверим условие. Новая последовательность будет:$b_1 = 1$$b_2 = 5 - 2 = 3$$b_3 = 9$$b_4 = 13 + 14 = 27$Последовательность $1, 3, 9, 27$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$. Этот набор чисел является решением.

Случай 2: $d = -2$. Найдем соответствующее значение $a$:$a = \frac{(-2-2)^2}{4} = \frac{(-4)^2}{4} = 4$. Искомая арифметическая прогрессия: $4, 2, 0, -2$. Проверим условие. Новая последовательность будет:$b_1 = 4$$b_2 = 2 - 2 = 0$$b_3 = 0$$b_4 = -2 + 14 = 12$Последовательность $4, 0, 0, 12$. Чтобы она была геометрической, должно существовать такое число $q$ (знаменатель прогрессии), что $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Из $b_2 = b_1 \cdot q$ следует $0 = 4 \cdot q$, откуда $q=0$. Тогда $b_3$ должно быть равно $b_2 \cdot q = 0 \cdot 0 = 0$, что верно.Однако $b_4$ должно быть равно $b_3 \cdot q = 0 \cdot 0 = 0$. В нашем случае $b_4 = 12$, что приводит к противоречию $12=0$. Следовательно, эта последовательность не является геометрической, и этот случай не является решением задачи.

Таким образом, существует только один набор чисел, удовлетворяющий условию.

Ответ: 1, 5, 9, 13.