Номер 27.29, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.29, страница 263.

Условие.

27.29. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Для удобства решения представим их в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По первому условию, сумма этих трёх чисел равна 30. Составим уравнение:
$(a-d) + a + (a+d) = 30$
$3a = 30$
$a = 10$

Теперь мы знаем средний член прогрессии. Исходные числа можно записать как $10-d$, $10$ и $10+d$.

Согласно второму условию, если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Запишем эти новые числа:
Первое новое число: $b_1 = (10-d) - 5 = 5-d$
Второе новое число: $b_2 = 10 - 4 = 6$
Третье новое число: $b_3 = 10+d$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов. Для наших чисел $b_1, b_2, b_3$ это означает:
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$
Подставим полученные выражения:
$6^2 = (5-d)(10+d)$

Решим это уравнение, чтобы найти разность $d$:
$36 = 50 + 5d - 10d - d^2$
$36 = 50 - 5d - d^2$
Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$d^2 + 5d - 14 = 0$

Корни этого уравнения можно найти, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $-14$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-7$.
$d_1 = 2$
$d_2 = -7$

Мы получили два возможных значения для разности арифметической прогрессии, а значит, существует два набора исходных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

1. Если $d = 2$, то исходные числа:
$a_1 = 10 - 2 = 8$
$a_2 = 10$
$a_3 = 10 + 2 = 12$
Получаем набор чисел: 8, 10, 12.

2. Если $d = -7$, то исходные числа:
$a_1 = 10 - (-7) = 17$
$a_2 = 10$
$a_3 = 10 + (-7) = 3$
Получаем набор чисел: 17, 10, 3.

Оба набора чисел являются решением задачи.

Ответ: 8, 10, 12 или 17, 10, 3.