Номер 27.31, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.31, страница 263.

Условие.

27.31. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

Пусть три искомых числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член этой прогрессии как $b$, а ее знаменатель как $q$. Тогда эти числа можно записать как $b$, $bq$, $bq^2$.

По первому условию, их сумма равна 26:
$b + bq + bq^2 = 26$
Вынесем $b$ за скобки:
$b(1 + q + q^2) = 26$ (1)

По второму условию, если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа $b+1$, $bq+6$ и $bq^2+3$ образуют арифметическую прогрессию.

Основное свойство арифметической прогрессии гласит, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Для нашей новой последовательности это означает:
$bq+6 = \frac{(b+1) + (bq^2+3)}{2}$

Упростим это уравнение:
$2(bq+6) = b+1 + bq^2+3$
$2bq + 12 = b + bq^2 + 4$
$8 = b + bq^2 - 2bq$
$8 = b(q^2 - 2q + 1)$
$b(q-1)^2 = 8$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $q$:
$\begin{cases} b(1 + q + q^2) = 26 \\ b(q-1)^2 = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$ (при этом $q \neq 1$, так как иначе левая часть была бы равна нулю):
$b = \frac{8}{(q-1)^2}$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:
$\frac{8}{(q-1)^2}(1 + q + q^2) = 26$

Разделим обе части уравнения на 2 и раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(q-1)^2 = q^2 - 2q + 1$:
$4(1 + q + q^2) = 13(q-1)^2$
$4 + 4q + 4q^2 = 13(q^2 - 2q + 1)$
$4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$(13-4)q^2 + (-26-4)q + (13-4) = 0$
$9q^2 - 30q + 9 = 0$
Разделив все уравнение на 3, получим:
$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
Найдем корни:
$q_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$q_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $b$ и сами исходные числа для каждого из найденных $q$.
1. Если $q = 3$, то $b = \frac{8}{(3-1)^2} = \frac{8}{4} = 2$. Исходные числа: $2$, $2 \cdot 3 = 6$, $6 \cdot 3 = 18$.
2. Если $q = \frac{1}{3}$, то $b = \frac{8}{(\frac{1}{3}-1)^2} = \frac{8}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{8}{\frac{4}{9}} = 18$. Исходные числа: $18$, $18 \cdot \frac{1}{3} = 6$, $6 \cdot \frac{1}{3} = 2$.
В обоих случаях мы получаем один и тот же набор чисел.

Проверим: Сумма чисел $2, 6, 18$ равна $2+6+18=26$. После прибавления к ним соответственно $1, 6, 3$ получаем числа $3, 12, 21$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=9$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 2, 6, 18.