Номер 28.1, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.1, страница 266.

Условие.

28.1. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии ($c_n$), если:

1) $c_4 = 216$, а знаменатель прогрессии $q = -3$;

2) $c_1 = 5\sqrt{5}$; $c_5 = 125\sqrt{5}$, а знаменатель прогрессии $q > 0$.

Решение.

1)

По условию задачи, дан четвертый член геометрической прогрессии $c_4 = 216$ и ее знаменатель $q = -3$. Требуется найти сумму первых шести членов $S_6$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Для нахождения суммы нам необходимо сначала найти первый член прогрессии $c_1$. Воспользуемся формулой $n$-го члена для $c_4$:

$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения $c_4 = 216$ и $q = -3$:

$216 = c_1 \cdot (-3)^3$

$216 = c_1 \cdot (-27)$

Отсюда находим $c_1$:

$c_1 = \frac{216}{-27} = -8$

Теперь, зная $c_1 = -8$ и $q = -3$, мы можем вычислить сумму первых шести членов $S_6$:

$S_6 = \frac{c_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{-8 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$

Вычислим $(-3)^6 = 729$.

$S_6 = \frac{-8 \cdot (729 - 1)}{-4} = \frac{-8 \cdot 728}{-4}$

$S_6 = 2 \cdot 728 = 1456$

Ответ: 1456.

2)

По условию задачи, дан первый член геометрической прогрессии $c_1 = 5\sqrt{5}$, пятый член $c_5 = 125\sqrt{5}$ и известно, что знаменатель прогрессии $q > 0$. Требуется найти сумму первых шести членов $S_6$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу $n$-го члена $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$:

$c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $c_1$ и $c_5$:

$125\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot q^4$

Разделим обе части уравнения на $5\sqrt{5}$:

$q^4 = \frac{125\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = 25$

Так как по условию $q > 0$, находим положительный корень:

$q = \sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^2} = \sqrt{5}$

Теперь, зная $c_1 = 5\sqrt{5}$ и $q = \sqrt{5}$, найдем сумму первых шести членов $S_6$ по формуле $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{5\sqrt{5}((\sqrt{5})^6 - 1)}{\sqrt{5} - 1}$

Вычислим $(\sqrt{5})^6 = ((\sqrt{5})^2)^3 = 5^3 = 125$.

$S_6 = \frac{5\sqrt{5}(125 - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \frac{5\sqrt{5} \cdot 124}{\sqrt{5} - 1} = \frac{620\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} + 1)$:

$S_6 = \frac{620\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{620\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 620\sqrt{5} \cdot 1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{620 \cdot 5 + 620\sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{3100 + 620\sqrt{5}}{4}$

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$S_6 = \frac{3100}{4} + \frac{620\sqrt{5}}{4} = 775 + 155\sqrt{5}$

Ответ: $775 + 155\sqrt{5}$.