Номер 28.5, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.5, страница 266.

Условие.

28.5. Знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{2}{3}$, а сумма четырёх первых членов равна 65. Найдите первый член прогрессии.

Решение.

28.5.

Пусть $b_1$ — искомый первый член геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи нам дано:

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{2}{3}$

Сумма первых четырёх членов: $S_4 = 65$

Количество членов: $n = 4$

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $b_1$:

$65 = \frac{b_1(1 - (\frac{2}{3})^4)}{1 - \frac{2}{3}}$

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычислим знаменатель дроби в правой части уравнения:

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

2. Вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - (\frac{2}{3})^4 = 1 - \frac{2^4}{3^4} = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81}{81} - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$

3. Теперь подставим полученные значения обратно в уравнение:

$65 = \frac{b_1 \cdot \frac{65}{81}}{\frac{1}{3}}$

4. Упростим выражение в правой части:

$b_1 \cdot \frac{65}{81} \div \frac{1}{3} = b_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = b_1 \cdot \frac{65}{27}$

5. Получаем уравнение:

$65 = b_1 \cdot \frac{65}{27}$

6. Найдём $b_1$, разделив обе части уравнения на $\frac{65}{27}$:

$b_1 = 65 \div \frac{65}{27} = 65 \cdot \frac{27}{65}$

$b_1 = 27$

Ответ: 27