Номер 28.6, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.6, страница 266.

Условие.

28.6. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 516, а первый член равен 12. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию задачи дано:

Первый член $b_1 = 12$.

Сумма первых трёх членов $S_3 = 516$.

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии выражается как $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$.

Зная, что $b_2 = b_1 \cdot q$ и $b_3 = b_1 \cdot q^2$, мы можем записать сумму следующим образом:

$S_3 = b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = b_1(1 + q + q^2)$

Подставим известные значения $b_1 = 12$ и $S_3 = 516$ в эту формулу:

$12 \cdot (1 + q + q^2) = 516$

Чтобы найти $q$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 12:

$1 + q + q^2 = \frac{516}{12}$

$1 + q + q^2 = 43$

Теперь приведём уравнение к стандартному квадратному виду $aq^2 + bq + c = 0$:

$q^2 + q + 1 - 43 = 0$

$q^2 + q - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=1, c=-42$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

Поскольку дискриминант положительный ($D = 169 = 13^2$), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$q_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$q_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Оба значения удовлетворяют условию задачи. Таким образом, знаменатель прогрессии может быть равен 6 или -7.

Ответ: 6 или -7.