Номер 28.3, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.3, страница 266.

Условие.

28.3. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 10 \cdot 3^{n-1}$. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Решение.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, которая задается формулой n-го члена: $b_n = 10 \cdot 3^{n-1}$. Необходимо найти сумму пяти первых членов этой прогрессии, обозначаемую как $S_5$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Стандартная формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Сравнивая её с заданной формулой $b_n = 10 \cdot 3^{n-1}$, мы можем легко определить параметры нашей прогрессии:
Первый член прогрессии $b_1 = 10$.
Знаменатель прогрессии $q = 3$.

Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов ($n=5$), подставив найденные значения в формулу суммы:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q-1} = \frac{10(3^5 - 1)}{3-1}$

Сначала вычислим значение $3^5$:
$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$.

Подставим полученное значение обратно в формулу для $S_5$:
$S_5 = \frac{10(243 - 1)}{2} = \frac{10 \cdot 242}{2}$

Выполним вычисления:
$S_5 = 5 \cdot 242 = 1210$.

Таким образом, сумма пяти первых членов прогрессии равна 1210.

Ответ: 1210