Вопросы?, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - страница 266.

Условие.

1. Как найти сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, отличным от единицы?

2. Чему равна сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен единице?

Решение.

1. Как найти сумму n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, отличным от единицы?

Сумма $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, где $q \neq 1$, вычисляется по специальной формуле. Для ее вывода рассмотрим сумму членов прогрессии.

Сумма по определению равна:
$S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Теперь вычтем из второго равенства первое. Большинство членов при вычитании взаимно уничтожатся:
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$
$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$

Вынесем $b_1$ за скобки в правой части:
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Поскольку по условию знаменатель $q$ не равен единице ($q \neq 1$), то $q - 1 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(q - 1)$, чтобы выразить $S_n$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Эту формулу также можно записать в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, который часто используется, когда $|q| < 1$.

Ответ: Сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии со знаменателем $q \neq 1$ можно найти по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

2. Чему равна сумма n первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен единице?

Если знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен единице ($q=1$), то каждый следующий член прогрессии равен предыдущему, умноженному на 1. Это означает, что все члены прогрессии равны между собой и равны первому члену $b_1$.

$b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot 1 = b_1$
$b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot 1 = b_1$
...
$b_n = b_{n-1} \cdot q = b_1 \cdot 1 = b_1$

Таким образом, геометрическая прогрессия представляет собой последовательность одинаковых чисел: $b_1, b_1, b_1, \dots, b_1$.

Сумма $n$ первых членов такой прогрессии будет суммой $n$ слагаемых, каждое из которых равно $b_1$.
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}}$

Следовательно, сумма вычисляется как произведение количества членов $n$ на значение первого члена $b_1$.

Ответ: Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен единице, равна $S_n = n \cdot b_1$.