Номер 28.7, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.7, страница 266.

Условие.

28.7. (Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е.Д. Войтяховского¹.) Воину дана награда за первую рану 1 копейка, за вторую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и т. д. После подсчёта оказалось, что воин получил награду в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается количество его ран.

Решение.

Согласно условию, награда воину за каждую последующую рану удваивалась: за первую рану — 1 копейка, за вторую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и так далее. Эта последовательность выплат является геометрической прогрессией ($b_n$).

Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$.

Общая сумма награды, полученная воином за $n$ ран, представляет собой сумму первых $n$ членов этой геометрической прогрессии ($S_n$).

Для начала переведем общую сумму награды в единую единицу измерения — копейки: $655 \text{ рублей } 35 \text{ копеек} = 655 \times 100 + 35 = 65500 + 35 = 65535 \text{ копеек}.$

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения $b_1 = 1$, $q = 2$ и $S_n = 65535$, чтобы найти количество ран $n$: $65535 = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$

Упростим выражение: $65535 = \frac{2^n - 1}{1}$ $65535 = 2^n - 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$: $2^n = 65535 + 1$ $2^n = 65536$

Чтобы найти $n$, необходимо определить, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 65536. Можно последовательно возводить 2 в степень или использовать известное значение $2^{10} = 1024$: $2^{16} = 2^6 \cdot 2^{10} = 64 \cdot 1024 = 65536$. Следовательно, $n=16$.

Ответ: 16.