Номер 28.14, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.14, страница 267.

Условие.

28.14. Докажите, что для членов геометрической прогрессии ($b_n$) выполняется равенство
$b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2n} = \frac{q}{1+q} S_{2n}$;

Решение.

Для доказательства данного равенства, рассмотрим сумму первых $2n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$, которую обозначим как $S_{2n}$:

$S_{2n} = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + \ldots + b_{2n-1} + b_{2n}$

Мы можем сгруппировать члены этой суммы на две части: сумму членов с нечетными индексами и сумму членов с четными индексами.

$S_{2n} = (b_1 + b_3 + \ldots + b_{2n-1}) + (b_2 + b_4 + \ldots + b_{2n})$

Обозначим сумму членов с четными индексами (левую часть доказываемого равенства) как $L_{even}$:

$L_{even} = b_2 + b_4 + \ldots + b_{2n}$

Тогда сумма членов с нечетными индексами будет $L_{odd} = b_1 + b_3 + \ldots + b_{2n-1}$.

Таким образом, $S_{2n} = L_{odd} + L_{even}$.

Теперь воспользуемся определением геометрической прогрессии, согласно которому каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$: $b_k = b_{k-1} \cdot q$.

Выразим каждый член из суммы $L_{even}$ через предыдущий член (который будет иметь нечетный индекс):

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_4 = b_3 \cdot q$

...

$b_{2n} = b_{2n-1} \cdot q$

Если мы сложим все эти равенства, то получим:

$b_2 + b_4 + \ldots + b_{2n} = (b_1 + b_3 + \ldots + b_{2n-1}) \cdot q$

Используя наши обозначения, это можно записать как:

$L_{even} = L_{odd} \cdot q$

Из этого соотношения выразим $L_{odd}$ (при условии, что $q \ne 0$):

$L_{odd} = \frac{L_{even}}{q}$

Теперь подставим это выражение для $L_{odd}$ в формулу для $S_{2n}$:

$S_{2n} = \frac{L_{even}}{q} + L_{even}$

Вынесем $L_{even}$ за скобки:

$S_{2n} = L_{even} \cdot (\frac{1}{q} + 1) = L_{even} \cdot \frac{1+q}{q}$

Наконец, выразим из этого равенства $L_{even}$, то есть сумму членов с четными индексами. Для этого умножим обе части на $\frac{q}{1+q}$ (при условии, что $q \ne -1$):

$L_{even} = S_{2n} \cdot \frac{q}{1+q}$

Таким образом, мы доказали, что $b_2 + b_4 + b_6 + \ldots + b_{2n} = \frac{q}{1+q} S_{2n}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.