Номер 28.20, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.20, страница 268.

Условие.

28.20. Постройте график уравнения $\frac{(y^2 - 4)(y + x)}{x^2 - 1} = 0$.

Решение.

Данное уравнение $\frac{(y^2-4)(y+x)}{x^2-1} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$ \left\{ \begin{array}{l} (y^2-4)(y+x) = 0, \\ x^2-1 \neq 0. \end{array} \right. $

Решим первое уравнение системы. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность уравнений:

$y^2-4 = 0$ или $y+x = 0$.

1) Из уравнения $y^2-4 = 0$ следует, что $y^2=4$, откуда $y=2$ и $y=-2$. Графиками этих уравнений являются две горизонтальные прямые.

2) Из уравнения $y+x=0$ следует, что $y=-x$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Теперь рассмотрим второе условие системы $x^2-1 \neq 0$, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Из него следует, что $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Это означает, что из графика нужно исключить (выколоть) точки, абсциссы которых равны $1$ или $-1$. Найдем координаты этих точек, подставив значения $x=1$ и $x=-1$ в уравнения прямых:

• Для прямой $y=2$: точки $(1; 2)$ и $(-1; 2)$.
• Для прямой $y=-2$: точки $(1; -2)$ и $(-1; -2)$.
• Для прямой $y=-x$: точки $(1; -1)$ и $(-1; 1)$.

Следовательно, искомый график — это объединение трех прямых $y=2$, $y=-2$ и $y=-x$, из которых удалены шесть указанных точек.

Ответ: Графиком уравнения является объединение прямых $y=2$, $y=-2$ и $y=-x$ с выколотыми точками $(1; 2)$, $(-1; 2)$, $(1; -2)$, $(-1; -2)$, $(1; -1)$ и $(-1; 1)$.