Вопросы?, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - страница 274.

Условие.

1. Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы?

2. По какой формуле находят сумму бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы?

Решение.

1. Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы?

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию $(b_n)$, первый член которой равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, причем выполняется условие $|q| < 1$. Сумма первых $n$ членов этой прогрессии, обозначаемая как $S_n$, вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Поскольку по условию модуль знаменателя $q$ меньше единицы ($|q| < 1$), то при неограниченном увеличении числа членов $n$ (то есть при $n \to \infty$), значение $q^n$ стремится к нулю. Например, если $q = \frac{1}{2}$, то последовательность его степеней $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, (\frac{1}{2})^n, \dots$ очевидно стремится к нулю.

Это означает, что последовательность частичных сумм $S_n$ сходится, то есть имеет предел при $n \to \infty$. Этот предел можно найти, подставив $q^n \to 0$ в формулу для $S_n$: $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$.

Этот предел и является по определению суммой бесконечной геометрической прогрессии.

Ответ: Суммой бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы, называют предел, к которому стремится сумма ее первых $n$ членов при неограниченном увеличении $n$.

2. По какой формуле находят сумму бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы?

Сумму $S$ бесконечной геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель $q$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, находят по следующей формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

В данной формуле:
• $S$ — искомая сумма бесконечной геометрической прогрессии;
• $b_1$ — первый член прогрессии;
• $q$ — знаменатель прогрессии.

Эта формула получается в результате нахождения предела последовательности частичных сумм прогрессии, как это было показано в ответе на предыдущий вопрос.

Ответ: $S = \frac{b_1}{1-q}$.