Номер 29.4, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.4, страница 274.

Условие.

29.4. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0,222\dots$;

2) $0,666\dots$;

3) $0,\overline{28}$;

4) $0,177\dots$;

5) $3,\overline{45}$;

6) $1,4\overline{12}$.

Решение.

1) 0,222...

Пусть $x = 0,222...$ . Это чистая периодическая дробь, которую можно записать как $0,(2)$.
Умножим обе части уравнения на 10, так как период состоит из одной цифры:
$10x = 2,222...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 2,222... - 0,222...$
$9x = 2$
$x = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

2) 0,666...

Пусть $x = 0,666...$ . Это чистая периодическая дробь $0,(6)$.
Умножим обе части на 10:
$10x = 6,666...$
Вычтем исходное уравнение:
$10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) 0,(28)

Пусть $x = 0,(28) = 0,282828...$ . Период состоит из двух цифр.
Умножим обе части на 100:
$100x = 28,282828...$
Вычтем исходное уравнение:
$100x - x = 28,282828... - 0,282828...$
$99x = 28$
$x = \frac{28}{99}$
Ответ: $\frac{28}{99}$

4) 0,1777...

Пусть $x = 0,1777...$ . Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $0,1(7)$.
Сначала умножим на 10, чтобы часть до периода стала целой:
$10x = 1,777...$
Теперь умножим на 100, чтобы сдвинуть один период влево:
$100x = 17,777...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$100x - 10x = 17,777... - 1,777...$
$90x = 16$
$x = \frac{16}{90}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{8}{45}$
Ответ: $\frac{8}{45}$

5) 3,454545...

Пусть $x = 3,454545...$ . Это можно записать как $3,(45)$.
Период состоит из двух цифр '45'.
Умножим обе части на 100:
$100x = 345,454545...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 345,454545... - 3,454545...$
$99x = 342$
$x = \frac{342}{99}$
Сократим дробь на 9 (сумма цифр числителя $3+4+2=9$, знаменателя $9+9=18$, обе делятся на 9):
$342 \div 9 = 38$
$99 \div 9 = 11$
$x = \frac{38}{11}$
Ответ: $\frac{38}{11}$

6) 1,4(12)

Пусть $x = 1,4(12) = 1,4121212...$ . Это смешанная периодическая дробь.
Умножим на 10, чтобы после запятой остался только период:
$10x = 14,121212...$
Теперь умножим исходное уравнение на 1000, чтобы сдвинуть непериодическую часть и один период влево:
$1000x = 1412,121212...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$1000x - 10x = 1412,121212... - 14,121212...$
$990x = 1398$
$x = \frac{1398}{990}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{699}{495}$
Проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $6+9+9=24$ (делится на 3). Сумма цифр знаменателя $4+9+5=18$ (делится на 3). Сократим на 3:
$699 \div 3 = 233$
$495 \div 3 = 165$
$x = \frac{233}{165}$
Число 233 является простым, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{233}{165}$