Номер 29.7, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.7, страница 274.

Условие.

29.7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($\left(b_n\right)$), если:

1) $b_3 = 4, b_5 = 2;$

2) $b_1 + b_3 = 20, b_2 + b_4 = \frac{20}{3}.$

Решение.

1)

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует, если $|q| < 1$.

По условию даны $b_3 = 4$ и $b_5 = 2$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Составим систему уравнений:
$b_3 = b_1 q^{3-1} = b_1 q^2 = 4$
$b_5 = b_1 q^{5-1} = b_1 q^4 = 2$

Для нахождения знаменателя $q$, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 q^4}{b_1 q^2} = q^2$
$q^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Следовательно, $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ или $q = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

В обоих случаях модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей и её сумму можно найти.

Найдем первый член $b_1$ из уравнения $b_1 q^2 = 4$:
$b_1 \cdot \frac{1}{2} = 4$
$b_1 = 8$

Теперь рассмотрим два возможных случая для суммы прогрессии.

Случай 1: $q = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{8}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{2-\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$S = \frac{16(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{16(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{16(2+\sqrt{2})}{2} = 8(2+\sqrt{2}) = 16 + 8\sqrt{2}$

Случай 2: $q = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{8}{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{8}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{2+\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$S = \frac{16(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{16(2-\sqrt{2})}{4-2} = \frac{16(2-\sqrt{2})}{2} = 8(2-\sqrt{2}) = 16 - 8\sqrt{2}$

Ответ: $16 + 8\sqrt{2}$ или $16 - 8\sqrt{2}$.

2)

По условию дано: $b_1 + b_3 = 20$ и $b_2 + b_4 = \frac{20}{3}$.

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$, используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$. Получим систему уравнений:
$b_1 + b_1 q^2 = 20 \implies b_1(1+q^2) = 20$
$b_1 q + b_1 q^3 = \frac{20}{3} \implies b_1 q(1+q^2) = \frac{20}{3}$

Разделим второе уравнение системы на первое:
$\frac{b_1 q(1+q^2)}{b_1(1+q^2)} = \frac{20/3}{20}$
$q = \frac{20}{3 \cdot 20} = \frac{1}{3}$

Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{1}{3}| < 1$. Условие выполняется, следовательно, сумма существует.

Найдем $b_1$ из первого уравнения $b_1(1+q^2) = 20$, подставив значение $q = \frac{1}{3}$:
$b_1(1 + (\frac{1}{3})^2) = 20$
$b_1(1 + \frac{1}{9}) = 20$
$b_1(\frac{10}{9}) = 20$
$b_1 = 20 \cdot \frac{9}{10} = 18$

Теперь вычислим сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$

Ответ: 27.