Номер 29.12, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.12, страница 275.

Условие.

29.12. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 b_4 = 36$ и $b_3 + b_5 = 8$.

Решение.

Обозначим первый член геометрической прогрессии $(b_n)$ как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 q^{n-1}$. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, для которой выполняется условие $|q| < 1$, вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Согласно условиям задачи, имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} b_2 \cdot b_4 = 36 \\ b_3 + b_5 = 8 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии, упомянутые в уравнениях, через $b_1$ и $q$:
$b_2 = b_1 q$
$b_3 = b_1 q^2$
$b_4 = b_1 q^3$
$b_5 = b_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$ \begin{cases} (b_1 q) \cdot (b_1 q^3) = 36 \\ b_1 q^2 + b_1 q^4 = 8 \end{cases} $

Упростим полученные уравнения:

$ \begin{cases} b_1^2 q^4 = 36 \\ b_1 q^2 (1 + q^2) = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения $b_1^2 q^4 = 36$ следует, что $(b_1 q^2)^2 = 36$. Так как $b_3 = b_1 q^2$, то мы имеем $b_3^2 = 36$. Отсюда получаем два возможных значения для третьего члена прогрессии: $b_3 = 6$ или $b_3 = -6$.

Во втором уравнении системы $b_1 q^2 (1 + q^2) = 8$ также заменим $b_1 q^2$ на $b_3$, получив $b_3 (1 + q^2) = 8$. Теперь рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть $b_3 = 6$.
Подставим это значение в уравнение $b_3 (1 + q^2) = 8$:
$6(1 + q^2) = 8$
$1 + q^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$q^2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$
Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
В обоих случаях модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумма существует.
Найдем первый член прогрессии $b_1$. Мы знаем, что $b_3 = b_1 q^2$, то есть $6 = b_1 \cdot \frac{1}{3}$, откуда $b_1 = 18$.
Теперь вычислим сумму прогрессии для каждого из найденных значений $q$:
а) при $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{18}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{18(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{18(3+\sqrt{3})}{2} = 9(3+\sqrt{3}) = 27 + 9\sqrt{3}$.
б) при $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{18}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{18(3-\sqrt{3})}{3-1} = \frac{18(3-\sqrt{3})}{2} = 9(3-\sqrt{3}) = 27 - 9\sqrt{3}$.

2. Пусть $b_3 = -6$.
Подставим это значение в уравнение $b_3 (1 + q^2) = 8$:
$-6(1 + q^2) = 8$
$1 + q^2 = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$
$q^2 = -\frac{4}{3} - 1 = -\frac{7}{3}$
Данное уравнение не имеет действительных решений для $q$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две геометрические прогрессии, для которых мы нашли два возможных значения суммы.
Ответ: $27 + 9\sqrt{3}$; $27 - 9\sqrt{3}$.