Номер 29.15, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.15, страница 275.

Условие.

29.15. Решите уравнение $1 - x^2 + x^4 - \dots = \frac{16}{17}$, если $|x| < 1$.

Решение.

Левая часть уравнения $1 - x^2 + x^4 - \dots$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x^2}{1} = -x^2$.

Условие сходимости для такой прогрессии $|q| < 1$, то есть $|-x^2| < 1$, что равносильно $x^2 < 1$ или $|x| < 1$. Это условие дано в задаче, поэтому мы можем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставив значения $b_1$ и $q$, получим:$S = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}$.

По условию задачи, сумма равна $\frac{16}{17}$, следовательно, мы можем составить и решить уравнение:$\frac{1}{1 + x^2} = \frac{16}{17}$.

Из этого уравнения следует:$1 + x^2 = \frac{17}{16}$$x^2 = \frac{17}{16} - 1$$x^2 = \frac{17 - 16}{16}$$x^2 = \frac{1}{16}$$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$$x = \pm\frac{1}{4}$.

Оба полученных значения, $x_1 = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$, удовлетворяют исходному условию $|x| < 1$.

Ответ: $\pm\frac{1}{4}$.