Номер 29.21, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.21, страница 276.

Условие.

29.21. В квадрат со стороной $a$ вписана окружность, в окружность вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность, в которую снова вписан квадрат, и т. д. Найдите сумму:

1) периметров всех построенных квадратов;

2) площадей построенных квадратов;

3) длин окружностей;

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Решение.

Пусть $a_1 = a$ — сторона первого квадрата. В него вписана окружность, её радиус $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{a}{2}$. В эту окружность вписан второй квадрат со стороной $a_2$. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности, то есть $a_2\sqrt{2} = 2r_1 = a$. Отсюда $a_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Во второй квадрат вписана вторая окружность с радиусом $r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$. В неё вписан третий квадрат со стороной $a_3$. Его диагональ $a_3\sqrt{2} = 2r_2 = a_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Отсюда $a_3 = \frac{a}{2}$.

Таким образом, мы имеем последовательности сторон квадратов $a_n$ и радиусов окружностей $r_n$, которые являются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Для сторон квадратов: первый член $a_1 = a$, знаменатель прогрессии $q_a = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a/\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для радиусов окружностей: первый член $r_1 = \frac{a}{2}$, знаменатель прогрессии $q_r = \frac{r_2}{r_1} = \frac{a/(2\sqrt{2})}{a/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

1) периметров всех построенных квадратов;

Периметры квадратов $P_n = 4a_n$ также образуют геометрическую прогрессию. Первый член: $P_1 = 4a_1 = 4a$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{4a_2}{4a_1} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Сумма периметров: $S_P = \frac{P_1}{1-q} = \frac{4a}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S_P = \frac{4a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{4a(2+\sqrt{2})}{2-1} = 4a(2+\sqrt{2})$.
Ответ: $4a(2+\sqrt{2})$

2) площадей построенных квадратов;

Площади квадратов $S_{кв, n} = a_n^2$ также образуют геометрическую прогрессию. Первый член: $S_{кв, 1} = a_1^2 = a^2$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{S_{кв, 2}}{S_{кв, 1}} = \frac{a_2^2}{a_1^2} = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$. Сумма площадей: $S_A = \frac{S_{кв, 1}}{1-q} = \frac{a^2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$

3) длин окружностей;

Длины окружностей $L_n = 2\pi r_n$ образуют геометрическую прогрессию. Первый член: $L_1 = 2\pi r_1 = 2\pi \frac{a}{2} = \pi a$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{L_2}{L_1} = \frac{2\pi r_2}{2\pi r_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Сумма длин окружностей: $S_L = \frac{L_1}{1-q} = \frac{\pi a}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S_L = \frac{\pi a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\pi a(2+\sqrt{2})}{2-1} = \pi a(2+\sqrt{2})$.
Ответ: $\pi a(2+\sqrt{2})$

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Площади кругов $S_{кр, n} = \pi r_n^2$ образуют геометрическую прогрессию. Первый член: $S_{кр, 1} = \pi r_1^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{S_{кр, 2}}{S_{кр, 1}} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$. Сумма площадей кругов: $S_C = \frac{S_{кр, 1}}{1-q} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi a^2}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi a^2}{2}$