Номер 29.23, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.23, страница 276.

Условие.

29.23. Постройте график функции $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + ...$, где $x > 0$.

Решение.

Исходная функция задана выражением $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + ...$ при условии $x > 0$.

Заметим, что все слагаемые, начиная со второго, образуют бесконечную геометрическую прогрессию. Обозначим ее сумму как $S$: $S = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + ...$

Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$ этой прогрессии. Первый член $b_1 = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}}{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{1+\sqrt{x}}$.

Для того чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, необходимо убедиться, что она сходится. Условие сходимости: $|q| < 1$. Поскольку $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$, и знаменатель $1+\sqrt{x} > 1$. Следовательно, для знаменателя прогрессии $q$ справедливо неравенство $0 < \frac{1}{1+\sqrt{x}} < 1$. Так как $|q| < 1$, прогрессия является сходящейся (бесконечно убывающей).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим в формулу наши значения $b_1$ и $q$: $S = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{1 - \frac{1}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{\frac{1+\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} = 1$.

Теперь мы можем упростить исходное выражение для функции $y$: $y = \sqrt{x} + S = \sqrt{x} + 1$.

Итак, нам нужно построить график функции $y = \sqrt{x} + 1$ при $x > 0$. Этот график можно получить из графика известной функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы с вершиной в начале координат (0, 0). После сдвига вверх на 1, вершина переместится в точку (0, 1). Однако, согласно условию задачи, $x > 0$, поэтому точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит графику. Эту точку (0, 1) следует изобразить "выколотой" (в виде пустого кружка).

Для более точного построения найдем несколько точек графика: - если $x=1$, то $y = \sqrt{1} + 1 = 2$; - если $x=4$, то $y = \sqrt{4} + 1 = 3$; - если $x=9$, то $y = \sqrt{9} + 1 = 4$.

График функции — это кривая, выходящая из выколотой точки (0, 1) и проходящая через точки (1, 2), (4, 3), (9, 4) и так далее, монотонно возрастая.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы $y = \sqrt{x} + 1$, определенная для $x > 0$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вверх по оси Oy, с выколотой начальной точкой (0, 1).