Номер 30.5, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.5, страница 279.

Условие.

30.5. Найдите сумму:

1) $9 + 99 + 999 + \ldots + \underbrace{99\ldots9}_{n}$;

2) $5 + 55 + 555 + \ldots + \underbrace{55\ldots5}_{n}$.

Решение.

1) Обозначим искомую сумму как $S_n$.
$S_n = 9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{99\dots9}_{n}$
Каждый член этой суммы можно представить в виде $10^k - 1$.
$9 = 10^1 - 1$
$99 = 10^2 - 1$
$999 = 10^3 - 1$
...
$\underbrace{99\dots9}_{n} = 10^n - 1$
Тогда сумму можно переписать следующим образом:
$S_n = (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$S_n = (10^1 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - \underbrace{(1 + 1 + \dots + 1)}_{n \text{ раз}}$
Первая скобка представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 10$ и знаменатель $q = 10$. Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S_{GP} = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$10 + 10^2 + \dots + 10^n = \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} = \frac{10^{n+1} - 10}{9}$
Вторая скобка — это просто сумма $n$ единиц, равная $n$.
Теперь подставим полученные значения обратно в выражение для $S_n$:
$S_n = \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9}$

Ответ: $\frac{10^{n+1} - 9n - 10}{9}$

2) Обозначим искомую сумму как $S'_n$.
$S'_n = 5 + 55 + 555 + \dots + \underbrace{55\dots5}_{n}$
Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$S'_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots + \underbrace{11\dots1}_{n})$
Теперь умножим и разделим выражение в скобках на 9:
$S'_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{99\dots9}_{n})$
Выражение в скобках является суммой $S_n$ из первого пункта.
$S_n = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{9}$
Подставим это выражение:
$S'_n = \frac{5}{9} \cdot S_n = \frac{5}{9} \cdot \left(\frac{10^{n+1} - 9n - 10}{9}\right) = \frac{5(10^{n+1} - 9n - 10)}{81}$

Ответ: $\frac{5(10^{n+1} - 9n - 10)}{81}$