Номер 30.2, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.2, страница 279.

Условие.

30.2. Найдите сумму $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1)$.

Решение.

Для нахождения данной суммы $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n + 1)$ представим ее с использованием знака суммирования. Общий член ряда имеет вид $k(k+1)$, где $k$ изменяется от 1 до $n$.

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)$

Раскроем скобки в выражении для общего члена суммы:$k(k+1) = k^2 + k$

Теперь сумма может быть переписана как:$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

Используя свойство линейности суммирования, мы можем разбить эту сумму на две отдельные суммы:$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

Для вычисления этих сумм воспользуемся известными формулами для суммы первых $n$ натуральных чисел и суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел:

• Сумма первых $n$ натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
• Сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Подставим эти формулы в наше выражение для $S_n$:$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

Чтобы упростить полученное выражение, приведем вторую дробь к общему знаменателю 6:$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6}$

Теперь сложим дроби и вынесем общий множитель $n(n+1)$ за скобки:$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6}$$S_n = \frac{n(n+1)((2n+1) + 3)}{6}$$S_n = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6}$

Вынесем множитель 2 из последней скобки в числителе:$S_n = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{6}$

Сократим дробь на 2:$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Таким образом, искомая сумма равна $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

Ответ: $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$