Номер 29.22, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.22, страница 276.

Условие.

29.22. Постройте график функции $y = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + \ldots$, где $x \neq 0$.

Решение.

Данная функция $y = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + ...$ представляет собой сумму члена $x^2$ и бесконечной геометрической прогрессии. Условие $x \neq 0$ означает, что область определения функции исключает ноль.

Рассмотрим часть функции, которая является бесконечной геометрической прогрессией:

$S = \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + ...$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{x^2}{1 + x^2}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{x^2}{(1 + x^2)^2}}{\frac{x^2}{1 + x^2}} = \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} \cdot \frac{1 + x^2}{x^2} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Для того чтобы сумма бесконечной геометрической прогрессии существовала (сходилась), необходимо выполнение условия $|q| < 1$.

Поскольку по условию $x \neq 0$, то $x^2 > 0$, и, следовательно, $1 + x^2 > 1$.

Отсюда следует, что для знаменателя $q$ справедливо неравенство $0 < \frac{1}{1 + x^2} < 1$. Таким образом, условие $|q| < 1$ выполняется для всех $x \neq 0$.

Сумма бесконечной сходящейся геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим наши значения:

$S = \frac{\frac{x^2}{1 + x^2}}{1 - \frac{1}{1 + x^2}} = \frac{\frac{x^2}{1 + x^2}}{\frac{(1 + x^2) - 1}{1 + x^2}} = \frac{\frac{x^2}{1 + x^2}}{\frac{x^2}{1 + x^2}} = 1$.

Теперь мы можем упростить исходную функцию, подставив найденное значение суммы $S$:

$y = x^2 + S = x^2 + 1$.

Итак, нам нужно построить график функции $y = x^2 + 1$ при условии $x \neq 0$.

Графиком функции $y = x^2 + 1$ является парабола, полученная сдвигом графика параболы $y = x^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси $Oy$). Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 1)$.

Условие $x \neq 0$ означает, что точка графика с абсциссой $x=0$ должна быть исключена. Найдем ординату этой точки: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, точка $(0, 1)$, являющаяся вершиной параболы, не принадлежит графику функции. На графике эта точка изображается как "выколотая" (в виде маленького пустого кружка).

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с выколотой вершиной в точке $(0, 1)$.