Номер 29.17, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.17, страница 275.

Условие.

29.17. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов.

Решение.

Пусть $b_1$ – первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ – её знаменатель.Для того чтобы сумма бесконечной геометрической прогрессии существовала, должно выполняться условие $|q| < 1$.

Сумма двух первых членов прогрессии равна:$S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q)$

Сумма остальных членов прогрессии представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_3 = b_1q^2$, а знаменатель также равен $q$. Найдём эту сумму ($S_{ост}$) по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{a_1}{1-r}$:$S_{ост} = \frac{b_3}{1-q} = \frac{b_1q^2}{1-q}$

По условию задачи, сумма двух первых членов в 8 раз больше суммы остальных её членов:$S_2 = 8 \cdot S_{ост}$

Подставим полученные выражения в это уравнение:$b_1(1+q) = 8 \cdot \frac{b_1q^2}{1-q}$

Так как прогрессия нетривиальна, $b_1 \neq 0$. Сократим обе части уравнения на $b_1$:$1+q = \frac{8q^2}{1-q}$

Умножим обе части на $(1-q)$, так как $|q| < 1$ и, следовательно, $q \neq 1$:$(1+q)(1-q) = 8q^2$

Применим формулу разности квадратов:$1 - q^2 = 8q^2$

Решим полученное уравнение относительно $q$:$1 = 8q^2 + q^2$$1 = 9q^2$$q^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда находим два возможных значения для $q$:$q_1 = \frac{1}{3}$ и $q_2 = -\frac{1}{3}$

Оба значения удовлетворяют условию сходимости прогрессии $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{3}| < 1$ и $|-\frac{1}{3}| < 1$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ или $-\frac{1}{3}$.