Номер 29.13, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.13, страница 275.

Условие.

29.13. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(c_n)$, если $c_3c_5 = 20$ и $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$.

Решение.

Пусть $(c_n)$ — бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $c_1$ и знаменателем $q$.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $c_n = c_1 q^{n-1}$.

Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{c_1}{1-q}$, при условии, что $|q| < 1$.

Из условия задачи нам даны два равенства:

1. $c_3 \cdot c_5 = 20$
2. $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$

Выразим члены прогрессии, входящие в эти равенства, через $c_1$ и $q$:

$c_2 = c_1 q$

$c_3 = c_1 q^2$

$c_4 = c_1 q^3$

$c_5 = c_1 q^4$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} (c_1 q^2)(c_1 q^4) = 20 \\ c_1 q + c_1 q^3 = 12\sqrt{5} \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} c_1^2 q^6 = 20 \\ c_1 q(1+q^2) = 12\sqrt{5} \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $c_1$:

$c_1 = \frac{12\sqrt{5}}{q(1+q^2)}$

Подставим это выражение для $c_1$ в первое уравнение:

$\left(\frac{12\sqrt{5}}{q(1+q^2)}\right)^2 q^6 = 20$

$\frac{144 \cdot 5}{q^2(1+q^2)^2} q^6 = 20$

$\frac{720 q^4}{(1+q^2)^2} = 20$

Разделим обе части уравнения на 20:

$36q^4 = (1+q^2)^2$

Перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:

$36q^4 = 1 + 2q^2 + q^4$

$35q^4 - 2q^2 - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = q^2$. Так как $q$ — действительное число, $x \ge 0$.

$35x^2 - 2x - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144 = 12^2$

$x_1 = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 35} = \frac{14}{70} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 35} = \frac{-10}{70} = -\frac{1}{7}$

Поскольку $x = q^2 \ge 0$, корень $x_2 = -1/7$ не является решением. Таким образом, $q^2 = 1/5$.

Отсюда находим возможные значения для $q$:

$q = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

Проверим условие сходимости ряда $|q| < 1$.

$|q| = \left|\pm\frac{\sqrt{5}}{5}\right| = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $\frac{2}{5} < \frac{\sqrt{5}}{5} < \frac{3}{5}$, что меньше 1. Условие выполняется, значит, сумма существует.

Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Найдем $c_1$:

$c_1 = \frac{12\sqrt{5}}{q(1+q^2)} = \frac{12\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}(1+\frac{1}{5})} = \frac{12\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{6}{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{\frac{6\sqrt{5}}{25}} = 12\sqrt{5} \cdot \frac{25}{6\sqrt{5}} = 2 \cdot 25 = 50$

Теперь найдем сумму прогрессии:

$S = \frac{c_1}{1-q} = \frac{50}{1-\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{50}{\frac{5-\sqrt{5}}{5}} = \frac{250}{5-\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{250(5+\sqrt{5})}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{25-5} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{20} = \frac{25(5+\sqrt{5})}{2}$

Случай 2: $q = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

Найдем $c_1$:

$c_1 = \frac{12\sqrt{5}}{q(1+q^2)} = \frac{12\sqrt{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}(1+\frac{1}{5})} = \frac{12\sqrt{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{6}{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{-\frac{6\sqrt{5}}{25}} = -50$

Теперь найдем сумму прогрессии:

$S = \frac{c_1}{1-q} = \frac{-50}{1-(-\frac{\sqrt{5}}{5})} = \frac{-50}{1+\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{-50}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}} = \frac{-250}{5+\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{25-5} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{20} = \frac{-25(5-\sqrt{5})}{2} = \frac{25(\sqrt{5}-5)}{2}$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Сумма прогрессии равна $\frac{25(5+\sqrt{5})}{2}$ или $\frac{25(\sqrt{5}-5)}{2}$.