Номер 29.14, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.14, страница 275.

Условие.

29.14. Решите уравнение:

1) $1 + x + x^2 + \dots = 4$, если $|x| < 1$;

2) $1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \dots = 1,5$, если $|x| > 1$.

Решение.

1) $1 + x + x^2 + ... = 4$, если $|x| < 1$

Левая часть уравнения представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель $q = x$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ при условии $|q| < 1$. В данном случае условие $|x| < 1$ задано в задаче, поэтому мы можем использовать эту формулу.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$S = 4$, $b_1 = 1$, $q = x$.

Получаем уравнение:

$\frac{1}{1-x} = 4$

Решим его относительно $x$:

$1 = 4(1-x)$

$1 = 4 - 4x$

$4x = 4 - 1$

$4x = 3$

$x = \frac{3}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $|x| < 1$:

$|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$. Так как $\frac{3}{4} < 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$.

2) $1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - ... = 1,5$, если $|x| > 1$

Левая часть этого уравнения также является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{-1/x}{1} = -\frac{1}{x}$

Формула суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ применима, если $|q| < 1$. Проверим это условие для нашей задачи:

$|q| = |-\frac{1}{x}| = \frac{1}{|x|}$

По условию $|x| > 1$, из этого следует, что $\frac{1}{|x|} < 1$. Таким образом, условие $|q| < 1$ выполняется, и мы можем использовать формулу суммы.

Подставим известные значения:

$S = 1,5 = \frac{3}{2}$, $b_1 = 1$, $q = -\frac{1}{x}$.

$\frac{1}{1 - (-\frac{1}{x})} = 1,5$

$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{3}{2}$

$\frac{x}{x+1} = \frac{3}{2}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$2x = 3(x+1)$

$2x = 3x + 3$

$2x - 3x = 3$

$-x = 3$

$x = -3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $|x| > 1$:

$|-3| = 3$. Так как $3 > 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = -3$.