Номер 29.18, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.18, страница 275.

Условие.

29.18. В квадрат со стороной $a$ вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого квадрата, во второй квадрат вписан третий, вершинами которого являются середины сторон второго, и т. д. (рис. 29.3). Найдите сумму площадей всех построенных квадратов.

Рис. 29.3

Решение.

Обозначим сторону первого квадрата как $a_1 = a$. Его площадь равна $S_1 = a_1^2 = a^2$.

Вершины второго квадрата являются серединами сторон первого. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, которые образуются в углах первого квадрата. Катеты этого треугольника равны половине стороны первого квадрата, то есть $\frac{a_1}{2} = \frac{a}{2}$. Сторона второго квадрата, $a_2$, является гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора найдем квадрат стороны второго квадрата: $a_2^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Площадь второго квадрата $S_2 = a_2^2 = \frac{a^2}{2}$.

Аналогично, для нахождения площади третьего квадрата $S_3$, мы видим, что он вписан во второй квадрат точно так же, как второй вписан в первый. Следовательно, его площадь будет в два раза меньше площади второго квадрата: $S_3 = \frac{1}{2} S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Мы видим, что площади квадратов образуют последовательность: $a^2, \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{4}, \frac{a^2}{8}, \dots$.

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = a^2$, а знаменатель $q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{a^2/2}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Сумму всех членов такой прогрессии можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, поскольку $|q| < 1$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу: $S = \frac{a^2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$