Номер 29.20, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.20, страница 276.

Условие.

29.20. В окружность радиуса $R$ вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан правильный треугольник и т. д. Найдите сумму:

1) периметров всех построенных треугольников;

2) площадей построенных треугольников;

3) длин окружностей;

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Решение.

В данной задаче мы имеем последовательность окружностей и вписанных в них правильных треугольников. Пусть $R_n$ — радиус $n$-й окружности, а $T_n$ — $n$-й правильный треугольник.

По условию, первая окружность имеет радиус $R_1 = R$. В нее вписан треугольник $T_1$. В треугольник $T_1$ вписана вторая окружность с радиусом $R_2$, в которую вписан треугольник $T_2$, и так далее.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности ($R_{опис}$) и радиус вписанной окружности ($r_{впис}$) связаны соотношением $R_{опис} = 2r_{впис}$.

Для $n$-го треугольника $T_n$ описанной окружностью является $n$-я окружность (радиус $R_n$), а вписанной — $(n+1)$-я окружность (радиус $R_{n+1}$). Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется соотношение $R_n = 2R_{n+1}$, откуда $R_{n+1} = \frac{1}{2}R_n$.

Это означает, что последовательность радиусов $R_1, R_2, R_3, \dots$ образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $R_1 = R$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Для нахождения сумм мы будем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

1) периметров всех построенных треугольников

Сторона правильного треугольника $a_n$, вписанного в окружность радиуса $R_n$, выражается формулой $a_n = R_n\sqrt{3}$. Периметр $n$-го треугольника равен $P_n = 3a_n = 3\sqrt{3}R_n$.

Последовательность периметров $P_1, P_2, \dots$ также является геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии: $P_1 = 3\sqrt{3}R_1 = 3\sqrt{3}R$. Знаменатель прогрессии: $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3\sqrt{3}R_{n+1}}{3\sqrt{3}R_n} = \frac{R_{n+1}}{R_n} = \frac{1}{2}$.

Сумма периметров $S_P$ равна: $S_P = \frac{P_1}{1 - 1/2} = \frac{3\sqrt{3}R}{1/2} = 6\sqrt{3}R$.

Ответ: $6\sqrt{3}R$

2) площадей построенных треугольников

Площадь правильного треугольника $S_{T_n}$ со стороной $a_n$ вычисляется по формуле $S_{T_n} = \frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив $a_n = R_n\sqrt{3}$, получим: $S_{T_n} = \frac{(R_n\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R_n^2\sqrt{3}}{4}$.

Последовательность площадей $S_{T_1}, S_{T_2}, \dots$ также является геометрической прогрессией. Первый член: $S_{T_1} = \frac{3R_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$. Знаменатель прогрессии: $\frac{S_{T_{n+1}}}{S_{T_n}} = \frac{3R_{n+1}^2\sqrt{3}/4}{3R_n^2\sqrt{3}/4} = \left(\frac{R_{n+1}}{R_n}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма площадей $S_{S_T}$ равна: $S_{S_T} = \frac{S_{T_1}}{1 - 1/4} = \frac{3\sqrt{3}R^2/4}{3/4} = \sqrt{3}R^2$.

Ответ: $\sqrt{3}R^2$

3) длин окружностей

Длина $n$-й окружности $L_n$ с радиусом $R_n$ равна $L_n = 2\pi R_n$.

Последовательность длин окружностей $L_1, L_2, \dots$ является геометрической прогрессией. Первый член: $L_1 = 2\pi R_1 = 2\pi R$. Знаменатель прогрессии: $\frac{L_{n+1}}{L_n} = \frac{2\pi R_{n+1}}{2\pi R_n} = \frac{R_{n+1}}{R_n} = \frac{1}{2}$.

Сумма длин окружностей $S_L$ равна: $S_L = \frac{L_1}{1 - 1/2} = \frac{2\pi R}{1/2} = 4\pi R$.

Ответ: $4\pi R$

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями

Площадь $n$-го круга $S_{C_n}$ с радиусом $R_n$ равна $S_{C_n} = \pi R_n^2$.

Последовательность площадей кругов $S_{C_1}, S_{C_2}, \dots$ является геометрической прогрессией. Первый член: $S_{C_1} = \pi R_1^2 = \pi R^2$. Знаменатель прогрессии: $\frac{S_{C_{n+1}}}{S_{C_n}} = \frac{\pi R_{n+1}^2}{\pi R_n^2} = \left(\frac{R_{n+1}}{R_n}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма площадей кругов $S_{S_C}$ равна: $S_{S_C} = \frac{S_{C_1}}{1 - 1/4} = \frac{\pi R^2}{3/4} = \frac{4}{3}\pi R^2$.

Ответ: $\frac{4}{3}\pi R^2$