Номер 29.19, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.19, страница 275.

Условие.

29.19. Геометрическая фигура составлена из бесконечной последовательности равносторонних треугольников, расположенных так, как показано на рисунке 29.4. Площадь каждого следующего треугольника в два раза меньше площади предыдущего. Сторона первого треугольника равна 4 см. Поместится ли такая геометрическая фигура на листе вашей тетради?

Рис. 29.4

Решение.

Для того чтобы определить, поместится ли фигура на листе тетради, необходимо найти ее габаритные размеры: максимальную высоту и общую длину (ширину).

Максимальная высота фигуры равна высоте первого, самого большого равностороннего треугольника. Сторона первого треугольника $a_1 = 4$ см. Высота равностороннего треугольника находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Высота первого треугольника: $H = h_1 = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
Приближенное значение высоты: $H \approx 2 \times 1.732 = 3.464$ см.

Общая длина фигуры представляет собой сумму длин оснований (сторон) всех треугольников, расположенных в ряд: $L = a_1 + a_2 + a_3 + \dots$. Это сумма бесконечной последовательности.

По условию, площадь каждого следующего треугольника в два раза меньше площади предыдущего: $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Найдем соотношение между сторонами двух последовательных треугольников:
$\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{\frac{a_{n+1}^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2$.

Так как $\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{1}{2}$, то $\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2 = \frac{1}{2}$, откуда получаем соотношение сторон: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Таким образом, длины сторон треугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = a_1 = 4$ см и знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поскольку $|q| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, сумма этой прогрессии конечна и вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Найдем общую длину фигуры:
$L = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:
$L = \frac{4\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{2-1} = 8 + 4\sqrt{2}$ см.

Приближенное значение длины: $L \approx 8 + 4 \times 1.414 = 8 + 5.656 = 13.656$ см.

Итак, габаритные размеры фигуры составляют: высота $H \approx 3.5$ см и длина $L \approx 13.7$ см. Стандартный лист школьной тетради имеет размеры примерно 16.5 см на 20.5 см. Так как и высота, и длина фигуры меньше размеров листа, фигура на нем поместится.

Ответ: да, такая геометрическая фигура поместится на листе стандартной тетради.