Номер 29.25, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.25, страница 276.

Условие.

29.25. Решите уравнение $6x^2 + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13 - 4x$.

Решение.

Исходное уравнение:

$6x^2 + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13 - 4x$

Перенесем слагаемое $-4x$ из правой части в левую, чтобы сгруппировать члены с переменной $x$:

$6x^2 + 4x + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13$

Заметим, что выражение $6x^2 + 4x$ можно представить как $2(3x^2 + 2x)$, что очень похоже на выражение под знаком корня $3x^2 + 2x + 4$. Преобразуем левую часть уравнения, чтобы явно выделить подкоренное выражение:

$2(3x^2 + 2x) + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13$

Добавим и вычтем 4 в скобках, чтобы получить полный квадратный трехчлен:

$2(3x^2 + 2x + 4 - 4) + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13$

$2(3x^2 + 2x + 4) - 2 \cdot 4 + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13$

$2(3x^2 + 2x + 4) + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} - 8 = 13$

$2(3x^2 + 2x + 4) + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} - 21 = 0$

Прежде чем продолжить, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x^2 + 2x + 4 \ge 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=3 > 0$), то трехчлен $3x^2 + 2x + 4$ всегда положителен. Следовательно, ОДЗ: $x$ - любое действительное число.

Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $y = \sqrt{3x^2 + 2x + 4}$. Так как $y$ - это арифметический квадратный корень, то $y \ge 0$. Тогда $y^2 = 3x^2 + 2x + 4$.

Подставим $y$ в преобразованное уравнение:

$2y^2 + y - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D_y = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$y_2 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Согласно условию $y \ge 0$, корень $y_2 = -3.5$ является посторонним. Таким образом, у нас остается единственное решение для $y$:

$y = 3$

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3x^2 + 2x + 4 = 9$

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант:

$D_x = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Оба корня принадлежат ОДЗ. Проверка подтверждает, что оба значения являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; -\frac{5}{3}$.