Номер 30.7, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.7, страница 279.

Условие.

30.7. Найдите сумму:

1) $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n - 7)(4n - 3)};$

2) $\frac{3}{1 \cdot 2} + \frac{7}{2 \cdot 3} + \frac{13}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)};$

3) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!};$

4) $\frac{3}{4} + \frac{5}{36} + \frac{7}{144} + \dots + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}.$

Решение.

1) Требуется найти сумму $S = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n-7)(4n-3)}$.

Общий член этого ряда (обозначим его $a_k$) имеет вид $a_k = \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$.

Проверим первые члены:

При $k=1$: $a_1 = \frac{1}{(4 \cdot 1 - 3)(4 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 5}$.

При $k=2$: $a_2 = \frac{1}{(4 \cdot 2 - 3)(4 \cdot 2 + 1)} = \frac{1}{5 \cdot 9}$.

Последний член суммы равен $\frac{1}{(4n-7)(4n-3)}$. Найдем, какому номеру $k$ он соответствует. Для этого приравняем первый множитель в знаменателе общему виду: $4k-3 = 4n-7$, откуда $4k = 4n-4$ и $k=n-1$. Таким образом, сумма состоит из $n-1$ членов.

Для нахождения суммы представим общий член $a_k$ в виде разности двух дробей (метод разложения на простейшие дроби):

$a_k = \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$.

Теперь сумма $S$ становится телескопической. Она состоит из $n-1$ членов:

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right) = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right) + \dots + \left( \frac{1}{4(n-1)-3} - \frac{1}{4(n-1)+1} \right) \right]$.

Упрощая выражение в скобках:

$S = \frac{1}{4} \left[ \left( 1 - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \dots + \left( \frac{1}{4n-7} - \frac{1}{4n-3} \right) \right]$.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n-3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n-3-1}{4n-3} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4n-4}{4n-3} = \frac{n-1}{4n-3}$.

Ответ: $S = \frac{n-1}{4n-3}$.

2) Требуется найти сумму $S_n = \frac{3}{1 \cdot 2} + \frac{7}{2 \cdot 3} + \frac{13}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{n^2+n+1}{n(n+1)}$.

Общий член ряда $a_k = \frac{k^2+k+1}{k(k+1)}$. Преобразуем его:

$a_k = \frac{k(k+1)+1}{k(k+1)} = 1 + \frac{1}{k(k+1)}$.

Дробь $\frac{1}{k(k+1)}$ можно разложить на простейшие: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.

Таким образом, $a_k = 1 + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.

Сумма $S_n$ равна $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$.

Разобьем сумму на две части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$.

Первая сумма равна $n$. Вторая сумма является телескопической:

$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Складывая обе части, получаем:

$S_n = n + \frac{n}{n+1} = \frac{n(n+1) + n}{n+1} = \frac{n^2+n+n}{n+1} = \frac{n^2+2n}{n+1} = \frac{n(n+2)}{n+1}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(n+2)}{n+1}$.

3) Требуется найти сумму $S_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!}$.

Общий член ряда $a_k = \frac{k}{(k+1)!}$. Преобразуем числитель, чтобы получить телескопическую сумму. Запишем $k$ как $(k+1)-1$:

$a_k = \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!}$.

Используя свойство факториала $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$, упростим первое слагаемое:

$\frac{k+1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1) \cdot k!} = \frac{1}{k!}$.

Таким образом, общий член ряда принимает вид $a_k = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$.

Теперь найдем сумму $S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \right)$:

$S_n = \left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right)$.

Промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, остаются только первый и последний члены:

$S_n = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$.

Ответ: $S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$.

4) Требуется найти сумму $S_n = \frac{3}{4} + \frac{5}{36} + \frac{7}{144} + \dots + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$.

Проанализируем знаменатели: $4 = 1^2 \cdot 2^2$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $144 = 3^2 \cdot 4^2$.

Общий член ряда $a_k = \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}$.

Представим этот член в виде разности двух дробей, чтобы получить телескопическую сумму. Заметим, что $(k+1)^2 - k^2 = (k^2+2k+1) - k^2 = 2k+1$. Это как раз числитель нашей дроби.

Тогда мы можем записать:

$a_k = \frac{(k+1)^2 - k^2}{k^2(k+1)^2} = \frac{(k+1)^2}{k^2(k+1)^2} - \frac{k^2}{k^2(k+1)^2} = \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}$.

Теперь сумма $S_n$ становится телескопической:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2} \right) = \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$S_n = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}$.

Приведем к общему знаменателю:

$S_n = \frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2} = \frac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2} = \frac{n^2+2n}{(n+1)^2} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$.