Номер 30.8, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.8, страница 280.

Условие.

30.8. Найдите сумму:

1) $\frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 17} + \dots + \frac{1}{(5n - 3)(5n + 2)}$

2) $\frac{3}{1 \cdot 2} + \frac{13}{2 \cdot 3} + \frac{37}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n + 1)}$

Решение.

1)

Требуется найти сумму $S_n = \frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 17} + ... + \frac{1}{(5n - 3)(5n + 2)}$. Это сумма, общий член которой имеет вид $a_k = \frac{1}{(5k - 3)(5k + 2)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$. Для нахождения суммы представим общий член в виде разности двух дробей. Заметим, что разность множителей в знаменателе равна $(5k + 2) - (5k - 3) = 5$. Тогда: $a_k = \frac{1}{(5k - 3)(5k + 2)} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{(5k - 3)(5k + 2)} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5k + 2) - (5k - 3)}{(5k - 3)(5k + 2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5k - 3} - \frac{1}{5k + 2} \right)$. Теперь исходная сумма является телескопическим рядом: $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5k - 3} - \frac{1}{5k + 2} \right) = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{5k - 3} - \frac{1}{5k + 2} \right)$. Расписывая слагаемые суммы, получаем: $S_n = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{5 \cdot 1 - 3} - \frac{1}{5 \cdot 1 + 2} \right) + \left( \frac{1}{5 \cdot 2 - 3} - \frac{1}{5 \cdot 2 + 2} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5n - 3} - \frac{1}{5n + 2} \right) \right]$ $S_n = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{12} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5n - 3} - \frac{1}{5n + 2} \right) \right]$. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемые: $S_n = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5n + 2} \right)$. Упростим полученное выражение: $S_n = \frac{1}{5} \left( \frac{5n + 2 - 2}{2(5n + 2)} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{5n}{2(5n + 2)} \right) = \frac{n}{2(5n + 2)} = \frac{n}{10n + 4}$.

Ответ: $\frac{n}{10n + 4}$

2)

Требуется найти сумму $S_n = \frac{3}{1 \cdot 2} + \frac{13}{2 \cdot 3} + \frac{37}{3 \cdot 4} + ... + \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)}$. Общий член ряда для $k=1, 2, ..., n$ имеет вид $a_k = \frac{k^3 + k^2 + 1}{k(k+1)}$. Упростим выражение для общего члена, преобразовав числитель: $k^3 + k^2 + 1 = k^2(k+1) + 1$. Тогда общий член можно переписать следующим образом: $a_k = \frac{k^2(k+1) + 1}{k(k+1)} = \frac{k^2(k+1)}{k(k+1)} + \frac{1}{k(k+1)} = k + \frac{1}{k(k+1)}$. Искомая сумма является суммой этих членов от $k=1$ до $n$: $S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( k + \frac{1}{k(k+1)} \right) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$. Полученная сумма состоит из двух частей. Первая часть — это сумма первых $n$ натуральных чисел (сумма арифметической прогрессии): $\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Вторая часть также является телескопическим рядом. Разложим дробь $\frac{1}{k(k+1)}$ на простейшие: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1)-k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. Тогда вторая сумма равна: $\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$. Промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и остается: $1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$. Сложим обе части, чтобы найти итоговую сумму: $S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{n+1}$.

Ответ: $\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{n+1}$