Номер 30.11, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.11, страница 280.

Условие.

30.11. Найдите сумму $S_n = 1 + 2a + 3a^2 + 4a^3 + \dots + n \cdot a^{n-1}$, где $a \neq 1$.

Решение.

Для нахождения суммы $S_n = 1 + 2a + 3a^2 + 4a^3 + \dots + n \cdot a^{n-1}$ воспользуемся следующим методом.

Запишем исходную сумму:

$$S_n = 1 + 2a + 3a^2 + 4a^3 + \dots + n a^{n-1}$$

Умножим обе части этого равенства на $a$:

$$a S_n = a + 2a^2 + 3a^3 + \dots + (n-1)a^{n-1} + n a^n$$

Теперь вычтем второе равенство из первого:

$$S_n - a S_n = (1 + 2a + 3a^2 + \dots + n a^{n-1}) - (a + 2a^2 + \dots + (n-1)a^{n-1} + n a^n)$$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $a$ в правой части и вынесем $S_n$ за скобки в левой:

$$S_n(1 - a) = 1 + (2a - a) + (3a^2 - 2a^2) + \dots + (n a^{n-1} - (n-1)a^{n-1}) - n a^n$$

После упрощения получим:

$$S_n(1 - a) = \underbrace{1 + a + a^2 + \dots + a^{n-1}}_{\text{Геометрическая прогрессия}} - n a^n$$

Выражение $1 + a + a^2 + \dots + a^{n-1}$ является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = a$. Так как по условию $a \neq 1$, ее сумма равна:

$$ \frac{1 \cdot (a^n - 1)}{a - 1} = \frac{a^n - 1}{a - 1} $$

Подставим это значение в наше уравнение:

$$S_n(1 - a) = \frac{a^n - 1}{a - 1} - n a^n$$

Поскольку $a \neq 1$, мы можем разделить обе части на $(1 - a)$:

$$S_n = \frac{1}{1 - a} \left( \frac{a^n - 1}{a - 1} - n a^n \right)$$

Упростим полученное выражение, учитывая, что $1 - a = -(a - 1)$:

$$S_n = \frac{a^n - 1}{(1 - a)(a - 1)} - \frac{n a^n}{1 - a}$$

$$S_n = \frac{a^n - 1}{-(a - 1)^2} + \frac{n a^n}{a - 1}$$

$$S_n = \frac{-(a^n - 1)}{(a - 1)^2} + \frac{n a^n(a - 1)}{(a - 1)^2}$$

$$S_n = \frac{1 - a^n + n a^{n+1} - n a^n}{(a - 1)^2}$$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы получить окончательный вид:

$$S_n = \frac{n a^{n+1} - (n+1)a^n + 1}{(a-1)^2}$$

Ответ: $S_n = \frac{n a^{n+1} - (n+1)a^n + 1}{(a-1)^2}$