Номер 30.13, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.13, страница 280.

Условие.

30.13. Решите уравнение $2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1).$

Решение.

Исходное уравнение:

$2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1)$

Заметим, что правую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности кубов: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Подставив это в уравнение, получим:

$2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Для упрощения уравнения введем замену переменных. Пусть:

$a = x^2 + x + 1$

$b = x - 1$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2a^2 - 7b^2 = 13ab$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное квадратное уравнение относительно переменных $a$ и $b$:

$2a^2 - 13ab - 7b^2 = 0$

Проверим, может ли $b$ быть равным нулю. Если $b = 0$, то $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$2(1^2 + 1 + 1)^2 - 7(1 - 1)^2 = 13(1^3 - 1)$

$2(3)^2 - 7(0)^2 = 13(0)$

$18 - 0 = 0$

$18 = 0$

Получено неверное равенство, следовательно, $x = 1$ не является корнем уравнения, и $b \neq 0$.

Так как $b \neq 0$, мы можем разделить обе части однородного уравнения на $b^2$:

$2\frac{a^2}{b^2} - 13\frac{ab}{b^2} - 7\frac{b^2}{b^2} = 0$

$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 13\left(\frac{a}{b}\right) - 7 = 0$

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$. Уравнение примет вид стандартного квадратного уравнения:

$2t^2 - 13t - 7 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$

Теперь необходимо вернуться к переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\frac{a}{b} = 7$

Выполним обратную подстановку:

$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = 7$

$x^2 + x + 1 = 7(x - 1)$

$x^2 + x + 1 = 7x - 7$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Случай 2: $\frac{a}{b} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную подстановку:

$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = -\frac{1}{2}$

$2(x^2 + x + 1) = -1(x - 1)$

$2x^2 + 2x + 2 = -x + 1$

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Корни:

$x_3 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_4 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $-1; -\frac{1}{2}; 2; 4$.