Номер 30.9, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.9, страница 280.

Условие.

30.9. Найдите сумму

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^2 - 1}$

Решение.

Для нахождения суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^2 - 1}$ сначала преобразуем выражение под знаком суммы. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя:

$(k+1)^2 - 1^2 = ((k+1) - 1)((k+1) + 1) = k(k+2)$.

Теперь сумма принимает вид:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$.

Для вычисления этой суммы представим дробь $\frac{1}{k(k+2)}$ в виде суммы простейших дробей (метод частных дробей):

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$.

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A(k+2) + Bk}{k(k+2)}$.

Отсюда следует, что $1 = A(k+2) + Bk$. Это тождество верно для любого $k$.

Подставим $k=0$: $1 = A(0+2) + B \cdot 0 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.

Подставим $k=-2$: $1 = A(-2+2) + B(-2) \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили разложение:

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1/2}{k} - \frac{1/2}{k+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$.

Подставим это выражение обратно в сумму:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$.

Полученная сумма является телескопической. Распишем её члены:

$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) = \underbrace{\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right)}_{k=1} + \underbrace{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)}_{k=2} + \underbrace{\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)}_{k=3} + \underbrace{\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)}_{k=4} + \dots + \underbrace{\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right)}_{k=n-1} + \underbrace{\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)}_{k=n}$.

Видно, что многие члены взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{3}$ сокращается с $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{4}$ с $+\frac{1}{4}$, и так далее. Остаются только первые два положительных члена и два последних отрицательных члена:

$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$.

Теперь можем найти значение $S_n$:

$S_n = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{(n+2) + (n+1)}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$S_n = \frac{1}{2} \left(\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}\right) = \frac{3(n^2+3n+2) - 4n-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)}$.

Вынося $n$ в числителе за скобки, получаем окончательный результат:

$S_n = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$.

Ответ: $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$