Номер 30.10, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.10, страница 280.

Условие.

30.10. Найдите сумму $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$.

Решение.

Обозначим искомую сумму через $S_n$:

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

Для нахождения этой суммы воспользуемся методом телескопического суммирования. Для этого представим общий член ряда $a_k = \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ в виде разности двух последовательных членов некоторой другой последовательности.

Рассмотрим следующее тождество:

$\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+2) - k}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2}{k(k+1)(k+2)}$

Из этого тождества мы можем выразить общий член нашего ряда:

$a_k = \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

Теперь подставим это выражение в исходную сумму:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак суммы и распишем несколько первых и последнее слагаемые, чтобы увидеть структуру сокращений:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \left( \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \right]$

Как видно, все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{2 \cdot 3}$ сокращается с $+\frac{1}{2 \cdot 3}$, $-\frac{1}{3 \cdot 4}$ с $+\frac{1}{3 \cdot 4}$ и так далее. В результате остаются только первое и последнее слагаемые в скобках. Такая сумма называется телескопической.

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

Теперь упростим полученное выражение, приведя дроби в скобках к общему знаменателю:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n+1)(n+2) - 2}{2(n+1)(n+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$S_n = \frac{n^2 + n + 2n + 2 - 2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n}{4(n+1)(n+2)}$

Вынесем общий множитель $n$ в числителе, чтобы получить окончательный вид ответа:

$S_n = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

Ответ: $\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$