Номер 30.4, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.4, страница 279.

Условие.

30.4. Найдите сумму $\sum_{k=1}^{n} \frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k+1}{3^k}$.

Решение.

Для нахождения указанной суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k}$ сначала упростим выражение под знаком суммы, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k} = \frac{3^{k+1} \cdot k^2}{3^k} + \frac{3^k \cdot k}{3^k} + \frac{1}{3^k} = 3k^2 + k + \left(\frac{1}{3}\right)^k$

Теперь исходную сумму можно представить в виде суммы трех рядов:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(3k^2 + k + \left(\frac{1}{3}\right)^k\right) = \sum_{k=1}^{n} 3k^2 + \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k$

Вынесем константу за знак суммы:

$S_n = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k$

Теперь найдем значение каждой суммы по отдельности:

1. Сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

2. Сумма первых $n$ натуральных чисел (сумма арифметической прогрессии): $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

3. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = \frac{1}{3}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$: $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k = b_1 \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1/3)^n}{1 - 1/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1/3^n}{2/3} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$

Подставим найденные значения обратно в выражение для $S_n$:

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$

Упростим первые два слагаемых:

$3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{n(n+1)}{2}$:

$\frac{n(n+1)}{2} \cdot ((2n+1) + 1) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (2n+2) = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+1)}{2} = n(n+1)^2$

Теперь соберем все вместе:

$S_n = n(n+1)^2 + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) = n(n+1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$

Ответ: $n(n+1)^2 + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$