Номер 30.3, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.3, страница 279.

Условие.

30.3. Найдите сумму $\sum_{k=1}^{n} \frac{5^k \cdot k - 1}{5^k}$.

Решение.

Для нахождения данной суммы преобразуем выражение под знаком суммы, разделив числитель на знаменатель почленно:

$$ \frac{5^k \cdot k - 1}{5^k} = \frac{5^k \cdot k}{5^k} - \frac{1}{5^k} = k - \left(\frac{1}{5}\right)^k $$

Теперь исходную сумму можно представить в виде разности двух сумм, используя свойства знака суммирования:

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{5^k \cdot k - 1}{5^k} = \sum_{k=1}^{n} \left(k - \left(\frac{1}{5}\right)^k\right) = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{5}\right)^k $$

Вычислим каждую из этих сумм по отдельности.

Первая сумма – это сумма первых $n$ натуральных чисел. Она вычисляется по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

$$ \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$

Вторая сумма – это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{5}$, а ее знаменатель $q = \frac{1}{5}$. Сумма вычисляется по формуле:

$$ \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{5}\right)^k = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^n}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \frac{1}{5^n}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{5^n}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 5^n} $$

Теперь подставим найденные значения сумм в исходное выражение для $S_n$:

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{5}\right)^k = \frac{n(n+1)}{2} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 5^n}\right) = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot 5^n} $$

Ответ: $ \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot 5^n} $