Номер 29.24, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.24, страница 276.

Условие.

29.24. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} x^2 + (y-2)^2 = 1, \\ y = |x| + a \end{cases}$

имеет три решения?

Решение.

Данная система уравнений определяет точки пересечения двух графиков на координатной плоскости. Проанализируем каждый из них.

Первое уравнение $x^2 + (y - 2)^2 = 1$ — это уравнение окружности с центром в точке C(0; 2) и радиусом $R=1$.

Второе уравнение $y = |x| + a$ задает график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки (0; a). Эта фигура ("галочка") симметрична относительно оси Oy. Вершина "галочки" находится в точке (0; a).

Поскольку график окружности также симметричен относительно оси Oy, то если точка $(x_0, y_0)$ с $x_0 \neq 0$ является решением системы, то и точка $(-x_0, y_0)$ также будет решением. Таким образом, количество решений с ненулевой абсциссой всегда четно. Чтобы общее число решений было нечетным (в нашем случае — три), одно из решений должно лежать на оси симметрии Oy, то есть иметь координату $x=0$.

Найдем точки, в которых окружность пересекает ось Oy, подставив $x=0$ в ее уравнение:

$0^2 + (y - 2)^2 = 1$

$(y - 2)^2 = 1$

Отсюда следует, что $y - 2 = 1$ или $y - 2 = -1$.

Таким образом, получаем две точки пересечения: (0; 3) и (0; 1).

Чтобы система имела решение при $x=0$, вершина "галочки" (0; a) должна совпадать с одной из этих точек. Это дает нам два возможных значения для параметра $a$: $a=3$ или $a=1$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: a = 3

Система принимает вид:

$\begin{cases} x^2 + (y - 2)^2 = 1, \\ y = |x| + 3 \end{cases}$

Вершина графика $y=|x|+3$ находится в точке (0; 3). Эта точка является самой верхней точкой окружности. Для любой другой точки графика $y=|x|+3$ при $x \neq 0$ выполняется неравенство $y = |x|+3 > 3$. В то же время все точки окружности, кроме (0; 3), имеют ординату $y < 3$. Следовательно, графики имеют только одну общую точку (0; 3). В этом случае система имеет одно решение, что не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: a = 1

Система принимает вид:

$\begin{cases} x^2 + (y - 2)^2 = 1, \\ y = |x| + 1 \end{cases}$

Вершина графика $y=|x|+1$ находится в точке (0; 1). Эта точка является самой нижней точкой окружности, поэтому (0; 1) — одно из решений. Чтобы найти другие решения, подставим второе уравнение в первое:

$x^2 + (|x| + 1 - 2)^2 = 1$

$x^2 + (|x| - 1)^2 = 1$

Так как $x^2 = |x|^2$, получаем:

$|x|^2 + |x|^2 - 2|x| + 1 = 1$

$2|x|^2 - 2|x| = 0$

$2|x|(|x| - 1) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $|x|=0$ и $|x|=1$.

Если $|x|=0$, то $x=0$. Это соответствует уже найденной точке (0; 1).

Если $|x|=1$, то $x=1$ или $x=-1$.
При $x=1$, $y = |1| + 1 = 2$. Получаем точку (1; 2).
При $x=-1$, $y = |-1| + 1 = 2$. Получаем точку (-1; 2).
Обе эти точки лежат на окружности, так как $1^2 + (2-2)^2 = 1$ и $(-1)^2 + (2-2)^2 = 1$.

Таким образом, при $a=1$ система имеет ровно три решения: (0; 1), (1; 2) и (-1; 2).

Ответ: $a=1$.