Номер 30.1, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.1, страница 279.

Условие.

30.1. Найдите сумму:

1) $2 + 10 + 30 + ... + n(n^2 + 1);$

2) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + n(n+1)(n+2).$

Решение.

1)

Данная сумма представляет собой сумму первых $n$ членов последовательности, где $k$-й член равен $a_k = k(k^2 + 1)$. Найдем формулу для суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(k^2+1)$.

Раскроем скобки в выражении для $k$-го члена:

$a_k = k^3 + k$

Тогда сумма будет выглядеть так:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k$

Воспользуемся известными формулами для суммы первых $n$ натуральных чисел и суммы кубов первых $n$ натуральных чисел:

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Подставим эти формулы в выражение для $S_n$:

$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)}{2}$

Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $\frac{n(n+1)}{2}$ за скобки:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n(n+1)}{2} + 1 \right) = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n(n+1)+2}{2} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

Ответ: $\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

2)

Общий член данной суммы имеет вид $a_k = k(k+1)(k+2)$. Требуется найти сумму $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$.

Сначала раскроем скобки в выражении для $k$-го члена:

$a_k = k(k^2+3k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k$

Теперь представим сумму в виде суммы степеней:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

Используем формулы для сумм степеней натуральных чисел:

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Подставим эти формулы в наше выражение для $S_n$:

$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$

Вынесем общий множитель $n(n+1)$ за скобки:

$S_n = n(n+1) \left[ \frac{n(n+1)}{4} + \frac{2n+1}{2} + 1 \right]$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 4:

$S_n = n(n+1) \left[ \frac{n(n+1) + 2(2n+1) + 4}{4} \right]$

$S_n = n(n+1) \left[ \frac{n^2+n + 4n+2 + 4}{4} \right]$

$S_n = n(n+1) \left[ \frac{n^2+5n+6}{4} \right]$

Разложим квадратный трехчлен $n^2+5n+6$ на множители: $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$.

$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

Ответ: $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$