Номер 30.6, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.6, страница 279.

Условие.

30.6. Докажите, что если последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с положительными членами, то

$\frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$

Решение.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$. По условию, все члены прогрессии положительны, т.е. $a_n > 0$ для любого $n$. Это означает, что все выражения под корнем положительны и знаменатели не равны нулю.

Рассмотрим левую часть равенства, обозначим её $S$:

$S = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}$

Преобразуем каждое слагаемое в этой сумме, домножив его числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для общего $k$-го члена суммы $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$ сопряженным выражением является $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$.

$\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})}{(\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}})^2 - (\sqrt{a_k})^2} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна разности прогрессии $d$. То есть, $a_{k+1} - a_k = d$.

Таким образом, $k$-й член суммы можно записать как:

$\frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в сумму $S$:

$S = \frac{\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}}{d} + \frac{\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}}{d} + \dots + \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}}{d}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{d}$ за скобки:

$S = \frac{1}{d} \left( (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \dots + (\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}) \right)$

Сумма в скобках является телескопической. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S = \frac{1}{d} ( -\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} - \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} - \dots - \sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}} )$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний:

$S = \frac{1}{d} (\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}) = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d}$

Чтобы привести это выражение к виду правой части исходного равенства, домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})$:

$S = \frac{(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})} = \frac{a_{n+1} - a_1}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}})}$

Используем формулу $(n+1)$-го члена арифметической прогрессии: $a_{n+1} = a_1 + nd$. Отсюда следует, что $a_{n+1} - a_1 = nd$.

Подставим это в наше выражение для $S$:

$S = \frac{nd}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}})} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$

Мы получили, что левая часть равенства равна правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.