Номер 30.12, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 30. Суммирование - номер 30.12, страница 280.

Условие.

30.12. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^2 - (2a + 2)x + 6a - 3}{\sqrt{2 + x - x^2}} = 0$ имеет единственное решение?

Решение.

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (и подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля):

$ \begin{cases} x^2 - (2a + 2)x + 6a - 3 = 0, \\ 2 + x - x^2 > 0. \end{cases} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство:

$2 + x - x^2 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, ОДЗ для $x$ есть интервал $(-1, 2)$.

2. Решим уравнение из системы:

$x^2 - (2a + 2)x + 6a - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$:

$D = (-(2a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a - 3) = 4(a + 1)^2 - 4(6a - 3) = 4(a^2 + 2a + 1) - 24a + 12 = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 12 = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2 = (2(a - 2))^2$.

Так как дискриминант является полным квадратом, корни легко вычисляются:

$x = \frac{(2a + 2) \pm \sqrt{(2(a - 2))^2}}{2} = \frac{2(a + 1) \pm 2(a - 2)}{2} = (a + 1) \pm (a - 2)$.

Отсюда находим два корня числителя:

$x_1 = (a + 1) + (a - 2) = 2a - 1$

$x_2 = (a + 1) - (a - 2) = a + 1 - a + 2 = 3$

3. Проанализируем корни с учетом ОДЗ.

Уравнение имеет единственное решение, если ровно один из найденных корней ($x_1$ и $x_2$) принадлежит ОДЗ, то есть интервалу $(-1, 2)$.

Рассмотрим корень $x_2 = 3$.

Поскольку $3 \notin (-1, 2)$, этот корень не является решением исходного уравнения ни при каких значениях параметра $a$.

Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы корень $x_1 = 2a - 1$ принадлежал ОДЗ.

Потребуем, чтобы $x_1$ находился в интервале $(-1, 2)$:

$-1 < 2a - 1 < 2$

Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$0 < 2a < 3$

Разделим все части на 2:

$0 < a < \frac{3}{2}$

При $a \in (0, \frac{3}{2})$ корень $x_1 = 2a - 1$ принадлежит ОДЗ, а корень $x_2 = 3$ не принадлежит ОДЗ. Также отметим, что при этих значениях $a$ корни $x_1$ и $x_2$ не совпадают (они совпадают только при $a=2$, что не входит в найденный интервал). Таким образом, при $a \in (0, \frac{3}{2})$ исходное уравнение имеет ровно одно решение.

Ответ: $a \in (0, \frac{3}{2})$.