Номер 29.16, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.16, страница 275.

Условие.

29.16. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой в 1,5 раза больше суммы остальных её членов.

Решение.

29.16.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Так как прогрессия является бесконечной и имеет сумму, её знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$.

Сумма всех членов прогрессии, начиная со второго, представляет собой новую бесконечную геометрическую прогрессию, у которой первый член равен $b_2 = b_1 \cdot q$, а знаменатель тот же, что и у исходной прогрессии, то есть $q$.

Сумма этой новой прогрессии (сумма всех членов, кроме первого) находится по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{a_1}{1 - q}$, где $a_1$ — первый член. В нашем случае $a_1 = b_2$.
Сумма остальных членов $S_{ост} = \frac{b_2}{1 - q} = \frac{b_1 \cdot q}{1 - q}$.

По условию задачи, первый член в 1,5 раза больше суммы остальных её членов:
$b_1 = 1,5 \cdot S_{ост}$

Подставим в это равенство выражение для $S_{ост}$:
$b_1 = 1,5 \cdot \frac{b_1 \cdot q}{1 - q}$

Поскольку первый член $b_1$ не может быть равен нулю (иначе все члены прогрессии были бы равны нулю), мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:
$1 = 1,5 \cdot \frac{q}{1 - q}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$1 \cdot (1 - q) = 1,5q$
$1 - q = 1,5q$
$1 = 1,5q + q$
$1 = 2,5q$
$q = \frac{1}{2,5} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Полученное значение $q = 0,4$ удовлетворяет условию сходимости прогрессии $|q| < 1$.
Ответ: 0,4.