Номер 29.9, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.9, страница 274.

Условие.

29.9. (Задача Ферма¹.) Покажите, что если S является суммой бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, то $\frac{S}{S-b_1} = \frac{b_1}{b_2}$.

Решение.

Пусть $(b_n)$ – бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Поскольку существует сумма $S$ этой прогрессии, она является сходящейся, а значит, ее знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма $S$ бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Нам необходимо доказать тождество $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$. Для этого преобразуем левую и правую части равенства и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

1. Преобразуем левую часть равенства.

Подставим формулу для $S$ в выражение $\frac{S}{S - b_1}$:

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1}{1 - q} - b_1}$

Сначала упростим знаменатель этой сложной дроби, приведя разность к общему знаменателю:

$\frac{b_1}{1 - q} - b_1 = \frac{b_1 - b_1(1-q)}{1-q} = \frac{b_1 - b_1 + b_1q}{1-q} = \frac{b_1q}{1-q}$

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение для левой части:

$\frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1q}{1 - q}} = \frac{b_1}{1 - q} \cdot \frac{1-q}{b_1q} = \frac{1}{q}$

Таким образом, левая часть тождества равна $\frac{1}{q}$.

2. Преобразуем правую часть равенства.

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$. Следовательно, для второго члена $b_2$ имеем:

$b_2 = b_1 \cdot q$

Подставим это выражение в правую часть доказываемого равенства:

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b_1}{b_1q} = \frac{1}{q}$

Таким образом, правая часть тождества также равна $\frac{1}{q}$.

3. Заключение.

Поскольку левая и правая части равенства равны одной и той же величине, равенство является верным:

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{1}{q}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{q}$, следовательно, $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$ доказано.