Номер 29.3, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.3, страница 274.

Условие.

29.3. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0,1111...$

2) $0,(5)$

3) $0,416416...$

4) $0,2666...$

5) $1,181818...$

6) $2,3(36)$

Решение.

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, используется следующий общий метод:

1. Обозначить исходную дробь переменной, например, $x$.
2. Умножить уравнение на степень 10 так, чтобы запятая оказалась сразу после первого периода.
3. Умножить исходное уравнение на степень 10 так, чтобы запятая оказалась сразу перед первым периодом.
4. Вычесть второе уравнение из первого. В результате этого действия периодическая (дробная) часть сократится.
5. Решить получившееся уравнение относительно $x$ и при необходимости сократить дробь.

1) 0,1111...

Данную дробь можно записать как $0,(1)$.
Пусть $x = 0,1111...$
В периоде одна цифра. Умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 1,1111...$
Теперь вычтем из полученного уравнения исходное:
$10x - x = 1,1111... - 0,1111...$
$9x = 1$
$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) 0,(5)

Дробь можно записать как $0,5555...$
Пусть $x = 0,5555...$
В периоде одна цифра, поэтому умножим на 10:
$10x = 5,5555...$
Вычтем исходное уравнение:
$10x - x = 5,5555... - 0,5555...$
$9x = 5$
$x = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

3) 0,416416416...

Запишем дробь в виде $0,(416)$.
Пусть $x = 0,416416...$
В периоде три цифры, поэтому умножим обе части уравнения на 1000:
$1000x = 416,416416...$
Вычтем из полученного уравнения исходное:
$1000x - x = 416,416416... - 0,416416...$
$999x = 416$
$x = \frac{416}{999}$

Ответ: $\frac{416}{999}$

4) 0,2666...

Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $0,2(6)$.
Пусть $x = 0,2666...$
Умножим на 100, чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$100x = 26,666...$
Умножим на 10, чтобы сдвинуть запятую перед периодом:
$10x = 2,666...$
Вычтем второе уравнение из первого:
$100x - 10x = 26,666... - 2,666...$
$90x = 24$
$x = \frac{24}{90}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{4}{15}$

Ответ: $\frac{4}{15}$

5) 1,181818...

Запишем дробь в виде $1,(18)$.
Пусть $x = 1,181818...$
В периоде две цифры, умножим на 100:
$100x = 118,1818...$
Вычтем исходное уравнение:
$100x - x = 118,1818... - 1,1818...$
$99x = 117$
$x = \frac{117}{99}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{13}{11}$

Ответ: $\frac{13}{11}$

6) 2,3(36)

Это смешанная периодическая дробь $2,3363636...$
Пусть $x = 2,33636...$
Умножим на 1000, чтобы сдвинуть запятую за первый период (36):
$1000x = 2336,3636...$
Теперь умножим на 10, чтобы сдвинуть запятую перед периодом:
$10x = 23,3636...$
Вычтем второе уравнение из первого:
$1000x - 10x = 2336,3636... - 23,3636...$
$990x = 2313$
$x = \frac{2313}{990}$
Сумма цифр числителя $2+3+1+3=9$, сумма цифр знаменателя $9+9+0=18$. Обе суммы делятся на 9, значит, дробь можно сократить на 9:
$x = \frac{2313 \div 9}{990 \div 9} = \frac{257}{110}$

Ответ: $\frac{257}{110}$