Номер 28.19, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.19, страница 267.

Условие.

28.19. Найдите произведение 100 первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 + b_2 + \ldots + b_{100} = A$, $\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \ldots + \frac{1}{b_{100}} = B$.

Решение.

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда $n$-й член прогрессии задается формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$.

По условию задачи даны две суммы:

$b_1 + b_2 + \dots + b_{100} = A$

$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_{100}} = B$

Требуется найти произведение первых 100 членов прогрессии, обозначим его $P_{100}$:

$P_{100} = b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_{100}$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии: произведение членов, равноудаленных от концов, постоянно и равно произведению первого и последнего членов. В нашем случае это $b_k \cdot b_{101-k} = b_1 \cdot b_{100}$.

Произведение $P_{100}$ можно сгруппировать в 50 таких пар:

$P_{100} = (b_1 \cdot b_{100}) \cdot (b_2 \cdot b_{99}) \cdot \dots \cdot (b_{50} \cdot b_{51})$

Таким образом, $P_{100} = (b_1 \cdot b_{100})^{50}$.

Теперь рассмотрим второе равенство. Последовательность $c_n = \frac{1}{b_n}$ также является геометрической прогрессией с первым членом $\frac{1}{b_1}$ и знаменателем $\frac{1}{q}$. Выразим сумму $B$:

$B = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1 q} + \dots + \frac{1}{b_1 q^{99}}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $b_1 q^{99}$:

$B = \frac{q^{99} + q^{98} + \dots + q + 1}{b_1 q^{99}} = \frac{1 + q + \dots + q^{99}}{b_1 q^{99}}$

Теперь рассмотрим первое равенство для суммы $A$:

$A = b_1 + b_1 q + \dots + b_1 q^{99} = b_1(1 + q + \dots + q^{99})$

Найдем отношение $\frac{A}{B}$, предполагая, что $A$ и $B$ не равны нулю:

$\frac{A}{B} = \frac{b_1(1 + q + \dots + q^{99})}{\frac{1 + q + \dots + q^{99}}{b_1 q^{99}}}$

Если сумма $1 + q + \dots + q^{99}$ не равна нулю, мы можем ее сократить:

$\frac{A}{B} = \frac{b_1}{1 / (b_1 q^{99})} = b_1 \cdot (b_1 q^{99})$

Поскольку $b_{100} = b_1 q^{99}$, получаем:

$\frac{A}{B} = b_1 \cdot b_{100}$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения $P_{100}$:

$P_{100} = (b_1 \cdot b_{100})^{50} = \left(\frac{A}{B}\right)^{50}$

Ответ: $(\frac{A}{B})^{50}$