Номер 29.1, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.1, страница 274.

Условие.

29.1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $\sqrt{2}$, -1, $\frac{1}{\sqrt{2}}$, ...;

2) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, 1, $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$, ... .

Решение.

1) Дана бесконечная геометрическая прогрессия $b_n$: $\sqrt{2}, -1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \dots$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.

Найдем первый член и знаменатель данной прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = \sqrt{2}$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Проверим условие сходимости прогрессии: $|q| < 1$.

$|q| = |-\frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$. Условие выполняется, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей и её сумму можно найти.

Вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}$.

Упростим полученное выражение:

$S = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$S = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{1} = 2\sqrt{2} - 2$.

Ответ: $2\sqrt{2} - 2$.

2) Дана бесконечная геометрическая прогрессия $b_n$: $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}, 1, \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}, \dots$

Для нахождения суммы воспользуемся той же формулой $S = \frac{b_1}{1 - q}$ при $|q| < 1$.

Найдем первый член и знаменатель прогрессии.

Первый член: $b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$. Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$.

Упростим выражение для знаменателя:

$q = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| < 1$.

$|q| = |2 - \sqrt{3}|$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $2 - \sqrt{3}$ является положительным числом, и $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.

Сравним $2 - \sqrt{3}$ с 1: $2 - \sqrt{3} < 1$, так как это эквивалентно $1 < \sqrt{3}$, что является верным неравенством. Условие $|q| < 1$ выполняется.

Вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 + 3\sqrt{3}}{2}$.