Номер 28.18, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.18, страница 267.

Условие.

28.18. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — последовательные члены геометрической прогрессии, $S_n$ — сумма её $n$ первых членов. Докажите, что

$S_n = a_1 a_n \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} \right)$

Решение.

Пусть $a_1, a_2, ..., a_n$ — последовательные члены геометрической прогрессии с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. Сумма её первых $n$ членов обозначается как $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$. Общий член прогрессии задаётся формулой $a_k = a_1 q^{k-1}$.

Необходимо доказать тождество: $S_n = a_1 a_n \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}\right)$.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства. Рассмотрим сумму, стоящую в скобках:

$P = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}$

Далее рассмотрим два случая для знаменателя исходной прогрессии $q$.

1. Случай $q = 1$.

В этом случае все члены прогрессии равны: $a_1 = a_2 = ... = a_n$. Сумма $S_n$ равна $S_n = n \cdot a_1$. Правая часть тождества будет равна: $a_1 a_n \left(\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n}\right) = a_1 \cdot a_1 \cdot \left(n \cdot \frac{1}{a_1}\right) = a_1^2 \cdot \frac{n}{a_1} = n \cdot a_1$. Поскольку $S_n = n \cdot a_1$, тождество выполняется.

2. Случай $q \neq 1$.

Для нахождения суммы $P$ воспользуемся свойством членов геометрической прогрессии. Выразим каждый член $a_k$ через $a_n$: $a_k = a_n q^{k-n}$. Тогда $\frac{1}{a_k} = \frac{q^{n-k}}{a_n}$. Сумма $P$ примет вид:

$P = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{q^{n-k}}{a_n} = \frac{1}{a_n}(q^{n-1} + q^{n-2} + ... + q^1 + q^0)$.

Сумма в скобках является суммой $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем $q$. Эта сумма равна $\frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Следовательно, $P = \frac{1}{a_n} \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Теперь подставим это выражение для $P$ в правую часть исходного тождества:

$a_1 a_n \cdot P = a_1 a_n \cdot \left(\frac{1}{a_n} \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\right) = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Это выражение является формулой для суммы $S_n$ при $q \neq 1$. Таким образом, правая часть тождества равна левой.

Мы показали, что тождество справедливо как при $q=1$, так и при $q \neq 1$. Следовательно, оно доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.