Номер 28.15, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.15, страница 267.

Условие.

28.15. Найдите сумму $(2 + \frac{1}{2})^2 + (4 + \frac{1}{4})^2 + \dots + (2^n + \frac{1}{2^n})^2$.

Решение.

Для нахождения данной суммы, обозначим её как $S_n$ и представим в виде ряда:

$S_n = \left(2 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(4 + \frac{1}{4}\right)^2 + \dots + \left(2n + \frac{1}{2^n}\right)^2 = \sum_{k=1}^{n} \left(2k + \frac{1}{2^k}\right)^2$

Раскроем квадрат каждого слагаемого по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$\left(2k + \frac{1}{2^k}\right)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot \frac{1}{2^k} + \left(\frac{1}{2^k}\right)^2 = 4k^2 + \frac{4k}{2^k} + \frac{1}{4^k}$

Таким образом, исходная сумма может быть представлена как сумма трех рядов:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(4k^2 + \frac{4k}{2^k} + \frac{1}{4^k}\right) = 4\sum_{k=1}^{n}k^2 + 4\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k} + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4^k}$

Теперь вычислим каждую из этих трех сумм по отдельности.

Первая сумма, $\sum_{k=1}^{n}k^2$, является суммой квадратов первых $n$ натуральных чисел, которая вычисляется по известной формуле:

$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Следовательно, первое слагаемое нашей суммы равно:

$4\sum_{k=1}^{n}k^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

Третья сумма, $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4^k} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{4}\right)^k$, является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=\frac{1}{4}$ и знаменателем $q=\frac{1}{4}$. Её сумма вычисляется по формуле $S_{geom} = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$:

$\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{\frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{4})^n)}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{4^n})}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{4^n}\right)$

Вторая сумма, $\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}$, является суммой арифметико-геометрической последовательности. Обозначим ее как $A = \sum_{k=1}^{n} k\left(\frac{1}{2}\right)^k$. Для её вычисления запишем:

$A = 1\left(\frac{1}{2}\right)^1 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \dots + n\left(\frac{1}{2}\right)^n$

Умножим это выражение на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}A = 1\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \dots + (n-1)\left(\frac{1}{2}\right)^n + n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$A - \frac{1}{2}A = \frac{1}{2}A = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) - n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

В скобках находится сумма геометрической прогрессии, которая равна $\frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

$\frac{1}{2}A = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n - n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{2}{2^{n+1}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{n+2}{2^{n+1}}$

Отсюда $A = 2 - \frac{n+2}{2^n}$.

Следовательно, второе слагаемое исходной суммы равно:

$4A = 4\left(2 - \frac{n+2}{2^n}\right) = 8 - \frac{4(n+2)}{2^n}$

Теперь объединим все три найденные части:

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + \left(8 - \frac{4(n+2)}{2^n}\right) + \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{4^n}\right)$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 8 - \frac{4(n+2)}{2^n} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

Объединим постоянные члены и приведем к общему знаменателю:

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{24}{3} + \frac{1}{3} - \frac{4(n+2)}{2^n} - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

$S_n = \frac{2n(2n^2+3n+1) + 25}{3} - \frac{4(n+2)}{2^n} - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

$S_n = \frac{4n^3+6n^2+2n+25}{3} - \frac{4(n+2)}{2^n} - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

Ответ: $S_n = \frac{4n^3+6n^2+2n+25}{3} - \frac{4(n+2)}{2^n} - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$.